模重复平方计算法的C实现

模重复平方计算法（C语言版本）

\quadRSARSARSA算法是197819781978年由R.RivestR.RivestR.Rivest、A.ShamirA.ShamirA.Shamir和L.AdlemanL.AdlemanL.Adleman提出的一种用数论构造的、也是迄今为止理论上最为成熟完善的公钥密码密码体制，该体制已得到广泛的应用。

算法描述

1.密钥的产生

（1）选两个保密的大素数ppp和qqq;

（2）计算n=p∗qn=p*qn=p∗q，ψ(n)=(p−1)(q−1)\psi(n)=(p-1)(q-1)ψ(n)=(p−1)(q−1), 其中ψ(n)\psi(n)ψ(n)是nnn的欧拉函数；

（3）选一整数eee,满足1<e<ψ(n)1<e<\psi(n)1<e<ψ(n),且gcd(ψ(n),e)=1gcd(\psi(n),e)=1gcd(ψ(n),e)=1;

（4）计算ddd满足:
de≡1modψ(n)de\equiv1mod\psi(n) de≡1modψ(n)
即ddd是在eee在模ψ(n)\psi(n)ψ(n)下的乘法逆元；

（5）以{eee,nnn}为公钥，{ddd,nnn}为公钥.
2.加密

\quad加密时首先将明文比特串分组，使得每个分组对应的十进制小数小于nnn, 对每个明文分组mmm做加密运算：
c≡memodψ(n)c\equiv m^emod\psi(n) c≡memodψ(n)
3.解密

对密文分组的解密运算为：
m≡cdmodψ(n)m\equiv c^dmod\psi(n) m≡cdmodψ(n)

算法中的优化

\quadRSARSARSA的加密和解密过程得为求一个整数的整数次幂，在取模。在这个运算过程中如果简单的运用递归，那么中间结果非常大，有可能超出计算机所允许的整数取值范围。然而如果利用模的运算性质：
(a∗b)mod(n)≡[(a)mod(n)∗bmod(n)]modn.(a*b)mod(n)\equiv [(a)mod(n)*bmod(n)]modn. (a∗b)mod(n)≡[(a)mod(n)∗bmod(n)]modn.
我们就可以大大减小中间运算结果。

模重复平方计算法原理

\quad考虑问题，对大整数m和大整数n计算:
bn(modm)b^n(modm) bn(modm)
例如：
12996227mod3790912996^{227}mod37909 12996227mod37909
不难看出若利用递归计算，那么这过程中的中间值将是惊人的，所以我们考虑使用模重复平方计算法。
1.现将n写成二进制，即：
n=n0+n12+…+nk−12k−1,ni∈[0,1],i=0,1,…,k−1n=n_0+n_12+ \ldots +n_{k-1}2^{k-1},n_i\in[0,1],i=0,1,\ldots,k-1 n=n0+n12+…+nk−12k−1,ni∈[0,1],i=0,1,…,k−1
那么，式：
bn(modm)b^n(modm) bn(modm)
的计算可以归纳为：
bn≡bn0⏟a0(b2⏟b1)n1⏟a1…(b2k−2⏟bk−2)nk−2⏟ak−2(b2k−1⏟bk−1)nk−1⏟ak−1(modm)b^n\equiv \underbrace{\underbrace{\underbrace{\underbrace {b^{n_0}} _ {a_0}(\underbrace {b^2}_ {b_1})^{n_1}}_{a_1} \ldots (\underbrace {b^{2^{k-2}}}_ {b_k-2})^{n_k-2}} _{a_k-2} (\underbrace {b^{2^{k-1}}}_ {b_k-1})^{n_k-1}}_{a_k-1}(modm) bn≡ak−1ak−2a1a0bn0(b1b2)n1…(bk−2b2k−2)nk−2(bk−1b2k−1)nk−1(modm)
这样我们就可以仅进行至多2[log2n]2[log_2n]2[log2n]次乘法便结束计算。

模重复平方计算法实现（C语言）

我们这里便展示上述的示例:

// 模重复平方计算法.cpp: 定义控制台应用程序的入口点。
//#include "stdafx.h"
#include"conio.h"
#include"stdlib.h"
#include"string.h"
int MRSM(long long b, long long n,long long m)//模重复平方计算法,其中b为底数，n为指数，m为模数
{long long M=1;char str[1024];_itoa_s(n, str, 2);//将指数n转化成二进制int count = strlen(str);for (int i = count-1; i >= 0; i--)//进入循环，利用模运算规律进行求解.{if (str[i] == '1')M=((M *= b)%m);elseM = M;b = ((b * b)%m);}return M%m;
}int main()
{printf("%d\n", MRSM(12996, 227,37909));_getch();return 0;
}

运行结果展示：（注：经过仅不到2秒便得出结果，初步达到了简化计算的目的.）