第K顺序统计量的求解
一个n个元素组成的集合中,第K个顺序统计量(Order Statistic)指的是该集合中第K小的元素,我们要讨论的是如何在线性时间(linear time)里找出一个数组的第K个顺序统计量。
一、问题描述
问题:给定一个含有n个元素的无序数组,找出第k小的元素。
- k = 1 :最小值
- k = n :最大值
- k = ⌊(n+1)/2⌋ or ⌈(n+1)/2⌉ :中位数
找最大值或最小值很简单,只需要遍历一次数组并记录下最大值或最小值就可以了。我们在这里要解决的问题是一般性的选择问题。
一种原始的解决方案是,用堆排序或归并排序将输入数据进行排序,然后返回第k个元素。这样在Θ(nlgn)时间内一定可以解决。但是我们希望有更好的方案,最好是线性时间。
二、期望线性时间的解决方案
为了在线性时间内解决这个选择问题,我们使用一个随机的分治算法,即RANDOMIZED-SELECT算法。此算法是使用随机化的快速排序中的随机划分子程序,对输入数组进行随机划分操作,然后判断第k小元素在划分后的哪个区域,对所在区域进行递归划分,最后找到第k小元素。
伪代码:
RANDOMIZED-SELECT(A,p,q,i) // i-th smallest in A[p..q]if p = qthen return A[p]r = RANDOMIZED-PARTITION(A, p, q)k = r-p+1 // A[r] is k-th smallestif i=kthen return A[r]if i<kthen return RANDOMIZED-SELECT(A, p, r-1, i)elsethen return RANDOMIZED-SELECT(A, r+1, q, i-k)
这里的RANDOMIZED-PARTITION()是随机版的划分操作( 快速排序的分析与优化),可见本算法是一个随机算法,它的 期望时间是Θ(n)(假设元素的值是不同的)。
1、Lucky-Case:最好的情况是在正中划分,划分的右边和右边的元素数量相等,但是1/10和9/10的划分也几乎一样好。可以这么说,任何常数比例的划分都和1/2:1/2的划分一样好。这里以1/10和9/10的划分为例,算法运行时间递归式为T(n) <= T(9n/10) + Θ(n)
,根据主定理得到T(n) <= Θ(n)
。
2、Unlucky-Case:虽然主元的选取是随机的,但是如果你运气足够差,每次都得到0:n-1的划分,这就是最坏的情况。此时递归式为T(n) = T(n-1) + Θ(n)
,则时间复杂度为T(n) = Θ(n^2)
。
3、Expected-Time:期望运行时间为Θ(n),即线性时间。这里就不证明了,证明需要用到指示器随机变量。
C++代码:
/*************************************************************************> File Name: RandomizedSelect.cpp> Author: SongLee> E-mail: lisong.shine@qq.com> Created Time: 2014年06月22日 星期日 20时20分08秒> Personal Blog: http://songlee24.github.com************************************************************************/
#include<iostream>
#include<cstdlib> // srand rand
using namespace std;void swap(int &a, int &b)
{int tmp = a;a = b;b = tmp;
}int Partition(int A[], int low, int high)
{int pivot = A[low];int i = low;for(int j=low+1; j<=high; ++j){if(A[j] <= pivot){++i;swap(A[i], A[j]);}}swap(A[i], A[low]);return i;
}int Randomized_Partition(int A[], int low, int high)
{srand(time(NULL));int i = rand() % (high+1);swap(A[low], A[i]);return Partition(A, low, high);
}int Randomized_Select(int A[], int p, int q, int i)
{if(p == q)return A[p];int r = Randomized_Partition(A, p, q);int k = r-p+1;if(i == k)return A[r];if(i < k)return Randomized_Select(A, p, r-1, i);elsereturn Randomized_Select(A, r+1, q, i-k);
}/* 测试 */
int main()
{int A[] = {6,10,13,5,8,3,2,11};int i = 7;int result = Randomized_Select(A, 0, 7, i);cout << "The " << i << "th smallest element is " << result << endl;return 0;
}
三、最坏情况线性时间的解决方案
虽然最坏情况Θ(n2)出现的概率非常非常小,但是不代表它不会出现。这里就介绍一个非同一般的算法,以保证在最坏情况下也能达到线性时间。
这个SELECT算法的基本思想就是要保证对数组的划分是一个好的划分,它通过自己的方法选取主元(pivot),然后将pivot作为参数传递给快速排序的确定性划分操作PARTITION。
基本步骤:
将输入数组的n个元素划分为n/5(上取整)组,每组5个元素,且至多只有一个组有剩下的n%5个元素组成。
寻找每个组织中中位数。首先对每组中的元素(至多为5个)进行插入排序,然后从排序后的序列中选择出中位数。
对第2步中找出的n/5(上取整)个中位数,递归调用SELECT以找出其中位数x。(如果是偶数取下中位数)
调用PARTITION过程,按照中位数x对输入数组进行划分。确定中位数x的位置k。
如果i=k,则返回x。否则,如果i < k,则在地区间递归调用SELECT以找出第i小的元素,若干i > k,则在高区找第(i-k)个最小元素。
总结:RANDOMIZED-SELECT和SELECT算法是基于比较的。我们知道,在比较模型中,排序时间不会优于Ω(nlgn)。之所以这里的选择算法达到了线性时间,是因为它们没有使用排序就解决了选择问题。另外,我们没有使用线性时间排序算法(计数排序/桶排序/基数排序),是因为它们要达到线性时间对输入有很高的要求,而这里不需要关于输入的任何假设。
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