【模电】0007 有源滤波器2（二阶有源滤低通波器）

滤波器的阶数越高，则可以得到越陡峭的频率响应，使得在通带内尽量不衰减信号，而在阻带内尽可能多地衰减信号。

上一节我们讲的一阶有源滤波器，在对数坐标系上，其阻带内的衰减是20dB/十倍频程；如果想要更好的衰减效果，需要用更高阶的滤波器。

1）二阶有源低通滤波器

一种最简单的二阶滤波器如下图：

其实质是两个一阶RC滤波器串联之后，用运放跟随输出，这种滤波器在阻带内的衰减是40dB/十倍频程。

因为是两个RC电路串联，这个电路的传递函数可以简单使用两个RC滤波器的传递函数相乘得到：

$H\left ( s \right ) = \frac{1}{1+sR_{1}C_{1}}\cdot \frac{1}{1+sR_{2}C_{2}}$

一般情况下，可以取R1=R2，C1=C2，这样便于计算。

当同时需要放大时，可以把运放接成同相位放大的形式，如下图：

最后一级的同相比例放大电路，可以使得输出放大 (R3+R4)/R4 倍。

2）另一种二阶有源低通滤波器

另一种工程中更常见的二阶低通滤波器如下图：

它与1）中的电路不同点在于，第一级的RC的C接到的不是地，而是输出。

我们先计算一下本图中的传递函数，仍然选择R1=R2，C1=C2，并设同相比例放大的倍数

$\frac{R_{3}+R_{4}}{R_{4}} = A_{VF}$

首先，后一级是个简单的RC滤波器，有： $V_{P}\left ( s \right ) = V_{A}\left ( s \right ) \cdot \frac{1}{1+sRC}$ ，

由于有虚断效应，Vo = Vp·Avf，

以A点列电流方程，有： $\frac{V_{I}\left ( s \right )-V_{A}\left ( s \right ) }{R} = \left [V_{A}\left ( s \right )-V_{O}\left ( s \right ) \right ]sC+\frac{V_{A}\left ( s \right )-V_{P}\left ( s \right ) }{R}$ ，

联立几个式子，可以得到：

$H\left ( s \right ) = \frac{V_{O}\left ( s\right )}{V_{I}\left ( s\right )} = \frac{A_{VF}}{1+\left ( 3-A_{VF} \right )sRC+\left ( sRC \right )^{2}}$

可以看到，如果不放大，则结果和1）中电路的传递函数是一样的，但是如果运放有放大倍数，则传递函数不同，大致的图形可以从图中看出区别，1）中电路的增益是单调下降的，而2）在通带和阻带交界出有增益的上升。这个特性使得电路2）有更加分明的通带和阻带分界点。

同时，如果 Avf 大于等于3，则电路不能稳定工作，会自激震荡。即这个电路不能有太大的放大倍数。

令 $\omega _{c} = \frac{1}{RC}$ ， $Q = \frac{1}{3-A_{VF}}$ ，则有：

$H\left ( s \right ) = \frac{A_{VF}\cdot\omega _{c}^{2} }{s^{2}+\frac{\omega _{c}}{Q}s+\omega _{c}^{2}}$

ωc为特征角频率，Q为等效品质因数。

3）滤波器设计参数选择

一般情况下，设计滤波器时，先确定电容值，再由特征频率 $\omega _{c} = \frac{1}{RC}$ 来计算电阻值。

改变放大倍数（即调整Q值），可以发现过渡带的增益凸起有明显增加，所以如果想要通带内的变化比较平缓，需要调整倍数到合适的Q值。

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