322. Coin Change
322. Coin Change
1. 题目描述
题目链接
You are given coins of different denominations and a total amount of money amount. Write a function to compute the fewest number of coins that you need to make up that amount. If that amount of money cannot be made up by any combination of the coins, return -1.
Example 1:
Input: coins = [1, 2, 5], amount = 11
Output: 3
Explanation: 11 = 5 + 5 + 1
Example 2:
Input: coins = [2], amount = 3
Output: -1
Note:
You may assume that you have an infinite number of each kind of coin.
2. 题目分析
硬币找零问题，经典的动态规划问题。给定一个金额，和给定几种面值确定的硬币，并且硬币数量无限，找出使用最少的硬币数来凑齐想要的金额。
人类的的思维，肯定是，一开始使用最大面额的硬币去算，然后多了就换小一点的面额，少了，就换大一点的面额，直到等于金额，或者发现无法凑齐整数的金额，则结束。但计算机无法像人类这样智能，可以准确知道少了多少面额，然后搜索是否有相应的硬币去凑。而是要一个个去试和比较，这样的话时间复杂度更高，所以我们不采用这种方法。
根据条件找最优解，并且能够不断拆分成相同的小问题，所以动态规划的思想，自上而下分析。比如说 coins = [1, 2, 5], amount = 11，既然我要凑11块钱，首先我可以选择面额为1, 2, 5是三种硬币，那么如果我
>对金额11凑硬币数
- 金额：11
| 选择面额 | 剩余金额 | 硬币数 |
|---|---|---|
| 1 | 10 | 1 |
| 2 | 9 | 1 |
| 5 | 6 | 1 |
>对金额10，9，6分别继续凑硬币数
- 金额：10
| 选择面额 | 剩余金额 | 硬币数 |
|---|---|---|
| 1 | 9 | 2 |
| 2 | 8 | 2 |
| 5 | 5 | 2 |
- 金额：9
| 选择面额 | 剩余金额 | 硬币数 |
|---|---|---|
| 1 | 8 | 2 |
| 2 | 7 | 2 |
| 5 | 4 | 2 |
- 金额：6
| 选择面额 | 剩余金额 | 硬币数 |
|---|---|---|
| 1 | 5 | 2 |
| 2 | 4 | 2 |
| 5 | 1 | 2 |
>对金额9，8，5分别继续凑硬币数
>对金额8，7，4分别继续凑硬币数
>对金额5，4，1分别继续凑硬币数
…
直到等于金额，或者发现无法凑齐整数的金额，则结束。
这是自上而下的分析思路，然后从分析过程也发现，很多金额会呗计算多遍，如果9,8,5等等，为了避免不必要的回溯，提高效率，使用空间换时间的方式，使用备忘录法，自下而上计算前面金额所需要的硬币数，然后再使用计算好的金额去计算大金额所需要的硬币数，像这题，我们可以先计算金额为1,2,3,4,10分别所需要的最小硬币数，那么不就直接可以统计出金额为11所需要的最小硬币数了吗？
3. 解决思路
状态dp[value]，表示金额为value时，所需要的最小硬币数。那么它会等于dp[value-coins[j]]+1（0=<j<=n）
状态转移方程：dp[value] = Math.min(dp[value], dp[value-coins[j]]+1);
4. 代码实现（java）
package com.algorithm.leetcode.dynamicAllocation;/*** Created by 凌 on 2018/12/15.* 描述：322. Coin Change*/
public class CoinChange {public static void main(String[] args) {
// int[] coins = {1, 2, 5};
// int amount = 11;int[] coins = {2};int amount = 0;int result = coinChange(coins,amount);System.out.println(result);}public static int coinChange(int[] coins, int amount) {if (coins == null || coins.length==0 ){return -1;}//f(n) = min(f(n) , f(n - coins[i])+1 ) ,//dp[i]=j表示组成i元，最少需要j个硬币int[] dp = new int[amount+1];//组成1元，2元，，，n元需要的最小硬币数for (int value = 1; value <= amount; value++) {//这里必须设置为Integer.MAX_VALUE-1，而不是Integer.MAX_VALUE，因为后面有dp[i - coins[j]] + 1的操作，// 如果为MAX_VALUE，+1则为负数最小值dp[value] = Integer.MAX_VALUE -1;//遍历所有价值的硬币，找到符合组合的硬币for (int j = 0; j < coins.length; j++) {if (value >= coins[j]){dp[value] = Math.min(dp[value], dp[value-coins[j]]+1);}}}return dp[amount] == Integer.MAX_VALUE-1 ? -1 : dp[amount];}
}5. 拓展，求最大硬币数
分析方法同求最小硬币数。
状态dp[value]，表示金额为value时，所需要的最大硬币数。那么它会等于dp[value-coins[j]]+1（0=<j<=n）
状态转移方程：dp[value] = Math.max(dp[value], dp[value-coins[j]]+1);
/*** 求最大硬币数* @param coins* @param amount* @return*/public static int moreCoins(int[]coins,int amount){if (coins==null || coins.length==0 || amount<0){return -1;}//必须注意amount == 0这种特殊情况，因为最后dp[amount] == 0 是直接返回-1，所以需要提前特殊处理if (amount == 0){return 0;}//dp[i]=j表示组成i元，最多需要j个硬币int[] dp=new int[amount+1];for (int i = 1; i <= amount; i++) {
// dp[i]=Integer.MIN_VALUE+1;for (int j = 0; j < coins.length; ++j) {if (coins[j] <= i) {dp[i] = Math.max(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1);}}}return dp[amount] == 0 ? -1 : dp[amount];}
```
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