南京大学计算机系2019复试离散题目-逻辑与推理

前言

前一段时间在问答区看到一道很有意思的题目,来自南京大学计算机系2019复试离散题目,恰巧我之前在校赛中做个类似的题目,于是我尝试回答这道题,给出了还算合理的解释,这里把这道题分享给大家.

                 南京大学计算机系2019复试离散题目回忆
1.佩奇，乔治和苏西三个人玩泥巴，回来后父亲说，你们三个人至少一个人的头上有泥，你们知道自己头上有泥吗三人齐答：不知道。爸爸又问：你们知道自己头上有泥吗？三人又答：不知道。爸爸第三次问，三人齐答：知道了。（1） 对该问题建立数学模型。（2） 说明为什么第三次大家都知道了，或者说明谁头上有泥？（3） 证明：有n个人的情况下，要问到第n次大家才能一起说知道了。

问题(2)的解答

这道题的思路来源是来自一个之前做过的红眼睛蓝眼睛这道题目

红眼睛蓝眼睛题目

一个岛上有100个人，眼睛要么是红色要么是蓝色，其中有5个红眼睛，95个蓝眼睛。这个岛有三个奇怪的宗教规则。

他们不知道自己的眼睛是红色还是蓝色，也不能照镜子，不能看自己眼睛的颜色。
他们不能告诉别人对方的眼睛是什么颜色。
一旦有人知道了自己的眼睛颜色，他就必须在当天夜里自杀。

在第一天有人告诉他们,他们之中有至少一个红眼睛。
问：红眼睛会在哪天死亡？蓝眼睛呢？若是没人说至少有一个红眼睛呢？若是说的是至少有一个蓝眼睛呢？

答案：第五天晚上红眼睛的人自杀，第六天其余的95个蓝眼睛的人接着全部自杀

思路分析

假设岛上有两个人且他们都是红眼睛：
第一天，我们挑选其中一个红眼睛的视角，他只能看到另外一个红眼睛，但是他并不能确定自己是红眼睛还是蓝眼睛。
第二天，其中一个看到另外一个红眼睛还活着，就想:为什么他还活着？如果他看到我是蓝眼睛，那他应该在第一天自杀，但是他并没有自杀，说明他看到的也是红眼睛。
然后那两个人第二天晚上回去自杀了…

同样的道理，当有n＋1个红眼睛时，
第n＋1天，那n+1个人看到其他n个红眼睛还活着，就会想:根据n天的推理，如果只有他们那n个红眼睛，他们昨天晚上就应该自杀了，但是他们没有，说明又不止n个，但我只看到了n个，就说明我自己也是。

然后第n+1个就知道了自己是红眼睛，就在第n+1天晚上回去自杀了…
至于蓝眼睛为什么会死

红眼睛死后的一天，其余的蓝眼睛知道了红眼睛的死讯，自然知道自己是蓝眼睛了，因为他们能看到的n个红眼睛全死了，如果他也是红眼睛，这群红眼睛应该在第n+1天死亡。

如果没人说至少有一个红眼睛，那么将不会有人死亡。

如果说的是至少有一个蓝眼睛呢
蓝眼睛与红眼睛交换身份，结论为第5天蓝眼睛死完，第6天红眼睛死完。

回到这道题来

三个孩子，在父亲还没发问时，孩子们的信息有哪些？每个孩子都能看到别人头上是否有泥，我们分析其中一个孩子，当第一次问的时候，如果看到另外两个孩子头上都没泥，那么头上有泥的就是自己了，就该有两个孩子说不知道，一个孩子说知道了，但是孩子都说不知道，说明这个孩子看到另外两个孩子其中一个头上有泥，第二次发问同理，如果孩子只看到一个孩子头上有泥，而另外一个孩子没泥，但是听到其他人说不知道，他就应该说知道了，而第三次发问，一个孩子知道另外两个孩子都说不知道，说明他们都看到另外两个孩子头上都有泥，否则他们就会说知道了，所以说明这三个孩子头上都有泥。这里注意，每个孩子获得的信息有自己看见的其他孩子的头顶，以及其他孩子的回答，在第n天结合n-1天孩子的回答以及自己看到，他们一定能知道自己头上是否有泥。

有趣之处

貌似同样的场景，父亲仿佛说了三句废话，孩子也是相同的回答，但是在第一次、第二次、以及第三次带来的含义是截然不同的。这一点引起了我的思考。这一题与红眼睛蓝眼睛的题目差异是，在父亲每一次发问，孩子们可以得到的信息更多了。

第（3）问解答

按照上一题的结论，在一共n个人，其中有m（m！=n）个人头上有泥，那么将会在第m天头上有泥的孩子都会说我知道了，而在第m+1天所有孩子才会说我知道了。当m=n时，如该题所有孩子将会同时回答知道了。所以至少需要n天能保证所有孩子都回答我知道了。