有重复组合公式及其证明方法
有重复组合公式如下:
若在n种元素中有重复的选择r个元素的公式:
Cn+r−1rC_{n+r-1}^{r}Cn+r−1r
这个公式的证明有很多种方法,这里只选取最容易理解的方式进行证明:
证明如下:
把n种元素当成n个顺序摆放的盒子,r是r个完全相同的球,这样从n种元素中有重复取r个元素的方法就转化成,把r个同质球放入n个盒子的方法
为什么可以这样呢,想想,把一个球放到第i个盒子就相当于从n种元素中我们取的第i种元素,如果有多个球放在第i个盒子中,相当于从n个元素中重复了取了第i种元素
空间中n+1条‘|’把空间分成n个盒子
举个例子n=6,也就是6个盒子
∣∣∣∣∣∣∣|\qquad|\qquad|\qquad|\qquad|\qquad|\qquad| ∣∣∣∣∣∣∣
那么我们往里面放球用’*'表示
则有
∣∗∣∗∗∗∗∣∣∗∗∗∣∣∗∣| * | * * * * ||* * * ||*|∣∗∣∗∗∗∗∣∣∗∗∗∣∣∗∣
我们发现
除去两边边界的 ∣|∣
实际的摆放方法就是n-1个 ∣|∣ 和 r 个∗*∗ 的不同摆放方式
所以共有n+r−1n+r-1n+r−1个位置
我们从中选择r个位置即可
因此得到公式
Cn+r−1rC_{n+r-1}^{r}Cn+r−1r
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