佳佳的斐波那契

佳佳对数学，尤其对数列十分感兴趣。

在研究完 Fibonacci 数列后，他创造出许多稀奇古怪的数列。

例如用 S(n) 表示 Fibonacci 前 n 项和 modm 的值，即 S ( n ) = ( F 1 + F 2 + … + F n ) m o d m ，其中 F 1 = F 2 = 1 , F i = F i − 1 + F i − 2 S(n)=(F_1+F_2+…+F_n)modm，其中 F_1=F_2=1,F_i=F_{i−1}+F_{i−2} S(n)=(F1+F2+…+Fn)modm，其中F1=F2=1,Fi=Fi−1+Fi−2。

可这对佳佳来说还是小菜一碟。

终于，她找到了一个自己解决不了的问题。

用 T ( n ) = ( F 1 + 2 F 2 + 3 F 3 + … + n F n ) m o d m T(n)=(F_1+2F_2+3F_3+…+nF_n)modm T(n)=(F1+2F2+3F3+…+nFn)modm表示 Fibonacci 数列前 n 项变形后的和 modm 的值。

现在佳佳告诉你了一个 n 和 m，请求出 T(n) 的值。

输入格式
共一行，包含两个整数 n 和 m。

输出格式
共一行，输出 T(n) 的值。

数据范围
1 ≤ n , m ≤ 2 31 − 1 1≤n,m≤2^{31}−1 1≤n,m≤231−1
输入样例：
5 5
输出样例：
1
样例解释
T ( 5 ) = ( 1 + 2 × 1 + 3 × 2 + 4 × 3 + 5 × 5 ) m o d 5 = 1 T(5)=(1+2×1+3×2+4×3+5×5)mod5=1 T(5)=(1+2×1+3×2+4×3+5×5)mod5=1

题解：

推理如下:
T n = f 1 + 2 f 2 . . . + n f n Tn=f_1+2f_2...+nf_n Tn=f1+2f2...+nfn
n S n − T n = ( n − 1 ) f 1 + ( n − 2 ) f 2 . . . f n − 1 nS_n-T_n=(n-1)f_1+(n-2)f_2...f_{n-1} nSn−Tn=(n−1)f1+(n−2)f2...fn−1
( n + 1 ) S n + 1 − T n + 1 = ( n ) f 1 + ( n − 1 ) f 2 . . . f n (n+1)S_{n+1}-T_{n+1}=(n)f_1+(n-1)f_2...f_{n} (n+1)Sn+1−Tn+1=(n)f1+(n−1)f2...fn
下面减去上面我们发现就是 s n s_n sn
令 p n = n ∗ s n − T n p_n=n*s_n-T_n pn=n∗sn−Tn
因为 t n = n ∗ s n − p n t_n=n*s_n-p_n tn=n∗sn−pn
又因为 p n − p n − 1 = s n − 1 p_n-p_{n-1}=s_{n-1} pn−pn−1=sn−1
所以我们可以根据 p n , s n p_n,s_n pn,sn推出 p n p_n pn并且A矩阵中不存在未知量。
用向量 [ f i , f i + 1 , s n , p n ] [f_i,f_{i+1},s_n,p_n] [fi,fi+1,sn,pn]就可以了

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
using namespace std;
int mod;
struct mat {ll a[4][4], n;mat() { memset(a, 0, sizeof(a)); }void matE() {for (int i = 0; i < n; i++)a[i][i] = 1;}inline mat operator+(const mat &T) const {mat res;res.n = n;for (int i = 0; i < n; i++)for (int j = 0; j < n; j++)res.a[i][j] = (a[i][j] + T.a[i][j] + mod) % mod;return res;}inline mat operator-(const mat &T) const {mat res;res.n = n;for (int i = 0; i < n; i++)for (int j = 0; j < n; j++)res.a[i][j] = (a[i][j] - T.a[i][j] + mod) % mod;return res;}inline mat operator*(const mat &T) const {mat res;res.n = n;ll r;for (int i = 0; i < n; ++i)for (int k = 0; k < n; ++k) {r = a[i][k];for (int j = 0; j < n; ++j)res.a[i][j] += T.a[k][j] * r,res.a[i][j] %= mod;}return res;}inline mat pow(ll x) {mat res, bas;res.n = bas.n = n;for (int i = 0; i < n; i++) res.a[i][i] = 1;for (int i = 0; i < n; i++)for (int j = 0; j < n; j++) bas.a[i][j] = a[i][j];while (x) {if (x & 1) res = res * bas;x >>= 1;bas = bas * bas;}for (int i = 0; i < n; i++)for (int j = 0; j < n; j++) a[i][j] = res.a[i][j];return res;}
}f,a,res;
int main()
{int n; cin>>n>>mod;f.n=a.n=4;a.a[0][1]=a.a[1][0]=a.a[1][1]=a.a[1][2]=a.a[2][2]=a.a[2][3]=a.a[3][3]=1;f.a[0][0]=f.a[0][1]=f.a[0][2]=1;int k=n-1;a.pow(k);res=f*a;cout<<(n*res.a[0][2]-res.a[0][3]+mod)%mod<<endl;
}

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