用Maple求解旅行推销员问题

题记：

在中国，就数学软件使用者数目而言， Matlab 一直是占领着高地。这与 Matlab 优秀的数值计算和处理大数据的能力密不可分，还有一个关键原因就是中国用户多，交流环境良好。尺有所长，寸有所短，对于数学软件而言也是如此。比如就符号计算能力而言，Matlab显得相对不足，这时候恐怕要推荐一下 Maple或者 Mathematica。在使用软件的过程中，笔者发现很多人拿着一方的优势去有意贬低另外一个软件的不足，我认为大可不必，作为使用者不必拘泥，可以依据实际情况各取所需，为我所用。

本文就抛转引玉，介绍下maple软件通用的一些使用方法，以及使用Maple 求解旅行推销员相关问。Maple 是1982年加拿大Waterloo大学开发的一个符号运算和数值计算软件平台。之后几乎每年都进行发布新版本，目前最新的版本是2019年三月发布的Maple 2019。它在处理数学相关问题相当出色和专业。结合Maple软件学习数学也会增加相应的乐趣。

首先这里针对Maple初学者可能遇到疑惑的点解释一下:为什么有的命令输入可以起作用，有的命令明明输入了怎么也不起作用。

比如想画一个各占1/3的饼状图。我们查到命令: PieChart([1, 2, 3])。输入之，很不幸你将会看到原样输出。这是为什么？

原因分析: Maple将一些专业性较强的关联紧密的函数命令集成到各种包里。如线性代数相关的 (典型的如求特征值，行列式) 就放到LinearAlgebra 包里，统计相关的就放在Statistics 包里。你使用内置命令之前需要查帮助文档（输入相关命令按F2）看看是不是在某个包里。上面说的函数PieChart 就在Statistics 包里。最直接的办法是添加with( Statistics): 效果图如下:

言归正传，图是一类重要的数据结构，图论是研究图的一门学科。可以利用Maple进行图论的研究。当然也有的人用其绘制精美的图论里的图。注意：Maple 里的图不支持含重边和环边。

图论相关的放在GraphTheory 和 SpecialGraphs 包里，分别有197和 79 个函数命令。还有一个是networks 包，不过这个包已经停止更新和维护，属于将被弃用的状态。Maple之所以保留并可以使用，估计Maple开发者有恋旧的美好情怀。

旅行推销员问题 (英语：travelling salesman problem, TSP）是这样一个问题：给定一系列城市和每对城市之间的距离，求解访问每一座城市一次并回到起始城市的最短回路。它是组合优化中的一个NP困难问题，在运筹学和理论计算机科学中非常重要。

一个判定问题（答案只有是或者否）属于NP 当且仅当这个问题是非确定型多项式时间可计算的。若NP问题类任何一个问题均可在多项式时间内转成问题A, 称问题A 是NP 困难问题。说句人话就是这个问题本身比较复杂，随着问题规模越大，即使再强大的计算机也几乎无法求解。这时候规模大时候往往寻求近似解。

旅行推销员问题在图论中的一个等价形式是：给定一个加权完全图（顶点表示城市，边表示道路，权重就会是道路的成本或距离）, 求一权值最小的哈密尔顿回路。

下面举一个现在看起来疯狂的例子。

大学毕业生小张准备骑自行车进行毕业旅行，出发地武汉，到南京，成都，合肥，西安，四个城市旅游，最后回到武汉。模型假设我们将五个城市视为图的5个定点，他们的直接距离是图的权重。上面城市分别记为1，2，3，4，5.

首先我们可以利用Wolfram Mathematica 联网功能一次性求出它们之间的距离。

我们利用上面的距离数据在 Maple 里通过下列方式构建下面的图：

restart;

with(GraphTheory):

# 5个城市, 问题归结于在一个完全赋权图找一个最优Hamilton 圈.

distanceofcities:= Matrix(5, {(1, 2) = 459.149, (1, 3) = 977.647,

(1, 4) =319.501,(1,5)=649.843,(2,3)=1406.79,(2,4)=143.539,(2,5)=953.511,

(3,4)= 1264.16,(3,5)=604.452,(4,5)=827.082 }, fill = 0, shape = symmetric): # 定义赋权矩阵distanceofcities

travelcities:=Graph(distanceofcities): # 通过赋权矩阵构成的完全赋权无向图travelcities

DrawGraph(travelcities,stylesheet= [vertexborder = false, vertexpadding = 15,edgecolor="blue", vertexcolor="Gold",

edgethickness=5], font=["Courier",10], size=[400,400]);

然后利用内置命令求解：

t:=time[real]():

TravelingSalesman(travelcities);s

'time'=time[real]()-t; #记录运行时间

运行结果如下:

(*结果解读如下：选择路线为武汉->合肥->南京->西安->成都->武汉，总行程2998.65公里。运行时间是0.051秒。*)

如果此时我们将城市扩大到10个，并考虑有时候由于地理条件的诸多原因两地往返的路选择未必一样。也就是往返选择的路的距离未必一致，这时侯考虑的就是有向图了。Maple 照样可以处理。

n:=10:

A1:= Matrix(n, (i,j)->`if`(i=j,0,n*(n-i)^4+2*j+(n-i)^2+j^3));

# A1 赋权矩阵

G1:=Graph(A1):

t:=time[real]():

TravelingSalesman(G1);

'time'=time[real]()-t;

运行结果是

这时我们会发现内置命令为56.79300 秒，时间已经算多的了，有人会问我们有希望自己编写的代码比内置命令更节省时间吗？很多情况的确是可以幸运地做到的。下面的方面是把每个路线方法（共 10！/2= 1814400 种）进行比较。从方法上感觉很笨。

n:=10:

P:=Iterator:-Permute([seq(2..n)]):

cmin:=infinity: ord:= <"none">:

for v in P do

f:=add(A1[v[k],v[k+1]],k=1..n-2) + A1[1,v[1]]+A1[v[n-1],1];

if f<cmin then cmin:=f; ord:=copy(v) fi;

od:

cmin;tour:=[1, entries(ord,'nolist',indexorder),1];

'time'=time[real]()-t;

HighlightTrail(G1, tour, red);

DrawGraph(G1, style = circle);

运行结果如下：

得到了相同的结果，但是令人惊讶的是时间却是1.775秒，远远小于内置方法。其中原因估计有二：第一我们没有采用真正意义上的暴力计算，而是巧妙地采用所谓惰性计算方法-迭代，这里主要体现在：

P:=Iterator:-Permute([seq(2..n)]): 。

第二点，我们考察 Maple 里TravelingSalesman 函数帮助文档用的什么算法，可以看到如下文字： The algorithm is a branch-and-bound algorithm using the Reduce bound (see Kreher and Stinson, 1999).

于是我们知道主要采用分支定界算法，这个方法有时候搞不好枝搞地很多，将会花费很多时间去剪枝，有时候反而不如直接比较的方法来的快。所以说我们也不能过度依赖内置函数去处理问题，而是依据实际情况进行合理的处理。

至于较大规模的旅行销售员问题的近似计算，有兴趣地找找相关文献读读。

最后，如果大家有matlab/maple/mathematica相关算法问题，可以通过我们的微信公众号联系我们。

微信公众号：320科技工作室。

用Maple求解旅行推销员问题相关推荐

用Maple求解常微分方程
请移步本人新浪博客: http://blog.sina.com.cn/s/blog_83d979740102yeuc.html
maple 假设_Maple在假设检验中的应用.pdf
您所在位置:网站首页 > 海量文档 &nbsp>&nbsp高等教育&nbsp>&nbsp统计学 Maple在假设检验中的应用.pdf3页本文档一共被 ...
Maple使用（一）：Maple转Latex
一.Maple结果转Latex代码可以用Maple求解问题,然后把结果转换成Latex代码,并入到Latex文件中. 1.将Maple表达式expr的Latex代码打印在屏幕上: latex(exp ...
爷青回！16年前“打球AI”意外走红，程序员留下了自己的ICQ和MSN
晓查发自凹非寺量子位报道 | 公众号 QbitAI 最近AI圈似乎刮起了一股"复古风". 上个月LeCun分享了1993年的手写识别神经网络,最近,一个2005年的AI程 ...
基于Maple的超静定连续梁内力求解器的实现
1．研究背景连续梁一般为多次超静定结构.常用的超静定结构内力求解方法有:力法.位移法.弯矩分配法.矩阵位移法,以及有限元法等等,前三者适用于超静定次数较少情况下的手算,后两者虽可通过电算解决任意次 ...
maple 解代数方程组得多项式_Maple笔记2--常微分方程求解
来源:网络论坛转载(VB资料库) 常微分方程求解微分方程求解是数学研究与应用的一个重点和难点. Maple能够显式或隐式地解析地求解许多微分方程求解. 在常微分方程求解器dsolve中使用了一些传统 ...
Maple笔记2--常微分方程求解
转需看原文地址:Maple笔记2--常微分方程求解作者:Lionel 来源:网络论坛转载(VB资料库) 常微分方程求解微分方程求解是数学研究与应用的一个重点和难点. Maple能够显式或隐式地解析 ...
求解多旅行推销员问题的两部分编码遗传算法算子
英文:Operators of the Two-Part Encoding Genetic Algorithm in Solving the Multiple Traveling Salesmen P ...
用遗传算法求解多旅行推销员问题的新方法
英文:A new approach to solving the multiple travelingsalesperson problem using genetic algorithms 其他关于 ...

用Maple求解旅行推销员问题

用Maple求解旅行推销员问题相关推荐

最新文章

热门文章