C++课程总结—

文章目录

质数：
- 求质数
- - 试除：
  - 筛法：
  - - 埃氏筛
    - 线性筛
- 质因数分解
- - 算数基本定理
  - ex算数基本定理
- 中国剩余定理（CRT）
- 费马小定理
- 更相减损法
- 欧几里得算法
- 拓展欧几里得算法(exgxd)
- - 裴蜀定理(BeˊzoutB\acute{e}zoutBeˊzout)
- 欧拉函数(φ)(\varphi)(φ)

质数：

质数：一个正整数不能被除了1和它本身的任何一个自然数整除的数称为质数（prime）

求质数

试除：

根据质数的定义，我们可以发现：若(1<k<n)( 1< k<n)(1<k<n)都不能能整除nnn，则nnn为质数，进一步思考：如果k∣nk\mid nk∣n则定会有一个k1×k=nk_1\times k=nk1×k=n且k1≤nk_1\leq \sqrt nk1≤n.
所以对于任意正整数，只需要枚举2~n\sqrt nn的所有数判断是否为nnn的约数就能判断nnn是否为质数.

筛法：

当我们求1~n的所有质数时上述方法的时间复杂度就为O(n×n)O(n\times \sqrt n )O(n×n).
但使用埃氏筛，线性筛可以将复杂度优化到O(n×log⁡log⁡n)O(n\times \log\log n)O(n×loglogn)和O(n)O(n)O(n)

埃氏筛

1.能被两个或多个数相乘得到的数一定不是质数.

2.任何一个合数都能被若干个质数相乘得到.(算数唯一分解定理）

反证法：
假设存在一个合数n不是由若干个质数相乘得出，n存在一个最小的合数m，
因为m为合数，则定有a×b=ma\times b=ma×b=m
若a,b均为质数，则与假设相矛盾，假设不成立，
若a,b中有一个为质数，则会存在一个更小的合数m1,m_1,m1,与假设相矛盾，假设不成立

3.假设x为一个质数,则小于x2x^2x2的合数会被小于x的另一个质数y所更新（x会乘到y,同理y会乘到x）

根据以上三点，我们可以得到埃拉托斯特尼筛法，简称埃氏筛

 for(int i = 2; i <= n; i ++){//注意这个从2开始，1特殊处理（筛2~n的质数）if( t[i] == 0 ) prime[ ++tot ] = i;//0代表从未被标记，即i是质数for(int j = i * i; j <= n; j += i){//从i^2开始(上述第3条)t[j] = 1;//标记程到的合数}}

线性筛

1.与埃氏筛原理一样，用质数标记合数
2.不同点：

线性筛确认了更新一个合数的唯一方式，即用这个数的最小质数去标记，所以线性筛的时间复杂度为O(n)O(n)O(n)

3.实现方法：

 for(int i = 2; i <= n; i ++){if(t[i] == 0){t[i] = i;//更新一个质数的最小质数当然是它本身ptime[++tot] = i;}for(int i = 1; i <= tot; i ++){//枚举每一个已标记的质数，去更新if(prime[i] > t[i] || prime[j] > n / i) break;//线性筛的核心//如果prime[i]>t[i]，则不满足对i*prime[j]的最小更新，自己举个例子（感性理解一下）t[i * prime[i]] = prime[i];//最小的质数再乘上一个质数当然是最小的}}

虽然线性筛的复杂度低，但比赛上最常用的是埃氏筛，原因是思路简单，比较方便更改（考试又不会出板子题），且loglog(n)loglog(n)loglog(n)是一个极小的数，复杂度不会比线性筛高多少,不过如果你更熟练用线性筛，那更好。

质因数分解

算数基本定理

N=p1c1p2c2...pk−1ck−1pkkN=p_1^{c_1}p_2^{c_2}...p_{k-1}^{c_{k-1}}p_k^{k}N=p1c1p2c2...pk−1ck−1pkk
pip_ipi是质数，cic_ici是正整数。
试除法：

每次尝试除一个数xxx，能整除，就让c[i]++c[i]++c[i]++(这一步就是求上面的cic_ici)
不能整除就向后推一个数（因为一定先扫描合数的因子，所以除的数一定是质数）（这一步是求上面的pip_ipi）
算法枚举了n\sqrt nn个数所以时间复杂度为O(n)O(\sqrt n)O(n)

ex算数基本定理

N的正约数个数：
(c1+1)×(c2+1)×...×(ck+1)=∏i=1k(ci+1)(c_1+1)\times(c_2+1)\times...\times(c_k+1)=\prod_{i=1}^{k}(c_i+1)(c1+1)×(c2+1)×...×(ck+1)=i=1∏k(ci+1)
N正约数的和：
(1+p1+p12+...+p1c1)×(1+p2+p22+...+p2c2)×....×(1+pk+pk2+...+pkck)=∏i=1k(∑j=0ci(pi)j)(1+p_1+p_1^2+...+p_1^{c_1})\times (1+p_2+p_2^2+...+p_2^{c_2})\times....\times (1+p_k+p_k^2+...+p_k^{c_k})=\prod_{i=1}^{k}(\sum_{j=0}^{c_i}(p_i)^j)(1+p1+p12+...+p1c1)×(1+p2+p22+...+p2c2)×....×(1+pk+pk2+...+pkck)=i=1∏k(j=0∑ci(pi)j)
未完待续

中国剩余定理（CRT）

∑i=1nMi×ti×ai\sum_{i=1}^{n}Mi\times ti\times ai∑i=1nMi×ti×ai

费马小定理

a≡1(modp)a\equiv 1(mod~p)a≡1(mod p)
求导逆元1a≡ap−2(modp)\frac 1a\equiv a^{p-2}(mod~ p)a1≡ap−2(mod p)，p为质数。

更相减损法

gcd(a,b)=gcd(a,a−b)=gcd(b,a−b)gcd(a,b)=gcd(a,a-b)=gcd(b,a-b)gcd(a,b)=gcd(a,a−b)=gcd(b,a−b)

欧几里得算法

gcd(a,b)=gcd(b,amodb)gcd(a,b)=gcd(b,a~mod~b)gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)

拓展欧几里得算法(exgxd)

-(恶心gcd)

裴蜀定理(BeˊzoutB\acute{e}zoutBeˊzout)

任意整数a,b有x,y满足ax+by=gcd(a,b)ax+by=gcd(a,b)ax+by=gcd(a,b)
对于ax+by=cax+by=cax+by=c当且仅当gcd(a,b)∣cgcd(a,b)|cgcd(a,b)∣c
x0,y0x_0,y_0x0,y0为ax+by=gcd(a,b)ax+by=gcd(a,b)ax+by=gcd(a,b)的一组特解，则他的通解为
x=cgcd(a,b)x0x=\frac c{gcd(a,b)}x_0x=gcd(a,b)cx0
y=cgcd(a,b)y0y=\frac c{gcd(a,b)}y_0y=gcd(a,b)cy0

欧拉函数(φ)(\varphi)(φ)

1~x中与x互质的数的个数被称为欧拉函数，记作φ(n)\varphi(n)φ(n)

1.若x为质数，φ(x)=x−1\varphi(x)=x-1φ(x)=x−1，所有数都与x互质
2.若x=pkx=p^kx=pk则φ(x)=(p−1)×pk−1\varphi(x)=(p-1)\times p^{k-1}φ(x)=(p−1)×pk−1

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