优先队列之堆排序（一）

前言

为什么要是用优先队？优先队列又是什么？

许多应用程序都系要处理有序的元素，但不应定要求它们完全有序，或者不一定要一次就将它们排序。很多时候我们回收集一些元素，然后处处理当前键值最大的元素，然后再收集更多的元素，再狐狸当前键值最大的元素……举个生活中的例子吧，就像我们用的手机一样，手机里面有很多进程，但是有一个进程的优先级特别高，那就是来电显示（不然的话，放你在打游戏的时候也不会因为来电而退出，嘿嘿）。优先队列是局部有序的，它并不将所有的元素都排成成有序的。

基本函数

Key delmax（）用来删除队列中最大的元素
void insert（Key value）用来插入新元素
boolean isEmpty() 用来判断队列是否为空
int getSize() 返回队列中的元素个数
Key getMax() 返回队列中的最大值元素

我们用二叉堆表示法来实现优先队列，首先来介绍一下什么是二叉堆

在一个二叉树里面，如果每个结点都大于等于它的两个子结点的时候，那么那它就是堆有序的；二叉堆是一组能够用堆有序的完全二叉树（若设二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。）排序的元素，并在数组中按照层级存储（为了表示方便，我们不使用数组中的第一个元素）。所以根节点的地方是队列中键值最大的元素。

函数具体实现（采用java语言）

堆实现的比较和交换算法

private boolean less(int i,int j) {return pq[i] <pq[j];}private void exch(int i,int j) {int temp = pq[i];pq[i]=pq[j];pq[j]=temp;}

由下至上的堆有序化—Swim（上浮）

private void swim(int k) { // 上浮   元素最大比较次数为logN+1次 （也就是二叉树为满二叉树的时候，再往里面插入元素的时候）while(k>1&&less(k/2,k)) {exch(k/2,k);k=k/2;}}

由上至下的堆有序化—Sink（下沉）

private void sink(int k) {
//下沉 一共循环logN次 元素比较次数为2*logN次while(2*k<=N) {int j=2*k;if(j<N && less(j,j+1)) {j++;}if(!less(k,j)) {break;}exch(k,j);k=j;}}

插入函数和删除最大元素最大函数

public void insert(int elem) {pq[++N]=elem;swim(N);}public int delMax() {int max=pq[1];exch(1, N--);//交换根节点和最后一个节点，并删除交换后的最后一     个节点 也就是之前的根节点//pq[N+1] = (Integer) null ;//防止对象游离  基本类型元素不可用sink(1);;//恢复堆得有序性return max;}

基于堆的优先队全部代码

package 优先队列1;public class PriorityQueue {//堆顶元素最大private int[] pq;private int N = 0; //存储于pq[1...N]中，pq[0]没有使用private boolean less(int i,int j) {return pq[i] <pq[j];}private void exch(int i,int j) {int temp = pq[i];pq[i]=pq[j];pq[j]=temp;}public PriorityQueue(int length) {this.pq=new int[length+1];  //下标为0的元素不用  元素从下标为1的地方开始}private void swim(int k) { // 上浮   元素最大比较次数为logN+1次 （也就是二叉树为满二叉树的时候，再往里面插入元素的时候）while(k>1&&less(k/2,k)) {exch(k/2,k);k=k/2;}}private void sink(int k) { //下沉   一共循环logN次   元素比较次数为2*logN次while(2*k<=N) {int j=2*k;if(j<N && less(j,j+1)) {j++;}if(!less(k,j)) {break;}exch(k,j);k=j;}}public int getElemSize(){return N;}public boolean isEmpty() {return N == 0;}public void insert(int elem) {pq[++N]=elem;swim(N);}public int delMax() {int max=pq[1];exch(1, N--);//交换根节点和最后一个节点，并删除交换后的最后一个节点 也就是之前的根节点//pq[N+1] = (Integer) null ;//防止对象游离  基本类型元素不可用sink(1);;//恢复堆得有序性return max;}private void display() {for(int i=1;i<=N;++i)System.out.print(pq[i] + " ");System.out.println();}public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stubPriorityQueue PQ = new PriorityQueue(12);PQ.insert(12);PQ.insert(15);PQ.insert(2);PQ.insert(18);PQ.insert(7);PQ.insert(7);System.out.println("The count of elem is "+PQ.getElemSize());System.out.print("All elem are :");PQ.display();System.out.println("Now,the max elem in priorityQueue is "+PQ.delMax());System.out.println("Now,the max elem in priorityQueue is "+PQ.delMax());System.out.println("Now,the max elem in priorityQueue is "+PQ.delMax());}
}

运行结果如下：

算法分析

sink（）方法中，一共循环logN次元素最大比较次数为2*logN次
swim（）方法中，元素最大比较次数为logN+1次，也就是二叉树为满二叉树的时候，再往里面插入元素的时候。
算法的分析用图表表示为：

其中，
第一行unordered array是没有排序的数组，插入和删除还有求最大元素的算法复杂度分别为1，n，n。
第二行ordered array是排好序的数组，插入和删除还有求最大元素的算法复杂度分别为n，1，1。
第三行binary heap是二叉堆，插入和删除还有求最大元素的算法复杂度分别为log n，2*log n，1。
第四行d-ary heap是d叉堆（也就是每个结点有d个子结点），插入和删除还有求最大元素的算法复杂度分别为logd n，d*logd n，1
sweet spot: d = 4 意思就是说最好的情况是当d=4的时候，算法效率比较好。

改进版的堆排序请参考

算法–优先队列之堆排序((二）升级版）