Johnson法则简要证明

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Johnson法则证明

题解 P1248 【加工生产调度】

问题背景

某工厂收到了 n n n 个产品的订单，这 n n n 个产品分别在 A A A， B B B 两个车间加工，并且必须先在 A A A 车间加工后才可以到 B B B 车间加工。

某个产品 i i i 在 A A A、 B B B 两车间加工的时间分别为 A i A_i Ai、 B i B_i Bi。怎样安排这 n n n 个产品的加工顺序，才能使总的加工时间最短。

这里所说的加工时间是指：从开始加工第一个产品到最后所有的产品都已在 A A A、 B B B 两车间加工完毕的时间。

简要证明

考虑我们只有两个产品的情况。

产品 1 1 1 ：在 A A A 机器上加工时间为 a 1 a_1 a1 ，在 B B B 机器上加工时间为 b 1 b_1 b1 。

产品 2 2 2 ：在 A A A 机器上加工时间为 a 2 a_2 a2，在 B B B 机器上加工时间为 b 2 b_2 b2 。

假设产品 1 1 1 先加工是总加工时间最小的。

若先加工产品 1 1 1 ，总时间为 a 1 + m a x { a 2 , b 1 } + b 2 a_1+max\{a_2,b_1\}+b_2 a1+max{a2,b1}+b2 。

若先加工产品 2 2 2 ，总时间为 a 2 + m a x { a 1 , b 2 } + b 1 a_2+max\{a_1,b_2\}+b_1 a2+max{a1,b2}+b1 。

那么则有： a 1 + m a x { a 2 , b 1 } + b 2 < a 2 + m a x { a 1 , b 2 } + b 1 a_1+max\{a_2,b_1\}+b_2 < a_2+max\{a_1,b_2\}+b_1 a1+max{a2,b1}+b2<a2+max{a1,b2}+b1 ，

再移项： m a x { a 2 , b 1 } − b 1 − a 2 < m a x { a 1 , b 2 } − b 2 − a 1 max\{a_2,b_1\}-b_1-a_2 < max\{a_1,b_2\}-b_2-a_1 max{a2,b1}−b1−a2<max{a1,b2}−b2−a1 ，

化简可得： m i n { a 1 , b 2 } < m i n { a 2 , b 1 } min\{a_1,b_2\} < min\{a_2,b_1\} min{a1,b2}<min{a2,b1} ，这就是我们排序使用的规则。

根据上面的规则进行排序，我们一定能得到最优的解。

我们可以用反证法证明一下：

假设最优解中存在两个物品 i i i 和 j j j ，不满足上述规则。

我们可以交换 i i i 和 j j j ，这样得到的序列总时间一定会降低，那么就与最优解的假设相矛盾，我们又构造出了一个更优解。

这就说明，按上述排序规则进行排序，得到的一定是最优解。

例题

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AC代码

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#define all(x) x.begin(), x.end()
#define mem(a, b) memset(a, b, sizeof a)
#define rev(x) reverse(x.begin(), x.end())
#define IOS ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0)using namespace std;const int N = 1010;struct Data {int a, b, c;bool operator< (const Data& t) const {return min(a, t.b) < min(t.a, b);}
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int n;void solve() {cin >> n;for (int i = 0; i < n; i ++ ) cin >> item[i].a;for (int i = 0; i < n; i ++ ) cin >> item[i].b;for (int i = 0; i < n; i ++ ) item[i].c = i + 1;sort(item, item + n);int ta = 0, tb = 0;for (int i = 0; i < n; i ++ ) {ta += item[i].a;tb = max(ta, tb) + item[i].b;}cout << tb << endl;for (int i = 0; i < n; i ++ ) cout << item[i].c << ' ';cout << endl;
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