Burnside引理的简要证明

前言

博主因为不会群论被这个引理的证明折磨了挺久，某天听某大佬悉心讲解了一发，感叹到原来这么SB，本着给群论萌新分享的心情来水一水万年没更的博客（

Burnside引理

N ( G , C ) = 1 ∣ G ∣ ∑ f ∈ G c ( f ) N(G,C)=\frac{1}{|G|}\sum_{f \in G} c(f) N(G,C)=∣G∣1f∈G∑c(f)

证明

考虑移项，要证：
∣ G ∣ N ( G , C ) = ∑ f ∈ G c ( f ) |G|N(G,C)=\sum_{f \in G}c(f) ∣G∣N(G,C)=f∈G∑c(f)

先声明几个符号或名词是什么意思：

状态：一种可能的情况（比如说染色状态）被称为状态， a , b a,b a,b两种状态一样，则记为 a = b a=b a=b。
等价类：通过置换群中的某个置换的作用，能变为完全一样的状态，这些状态就互相等价，被统称为 1 1 1个等价类，状态的个数为这个等价类的大小。
f ∗ a f*a f∗a： a a a是一个状态， f f f是一个置换， f ∗ a f*a f∗a表示 f f f置换作用于 a a a状态得到的新的状态，如果两种状态 a , b a,b a,b等价，那么易知 ∃ f ∈ G , s . t . f ∗ a = b \exist f \in G,s.t. f*a=b ∃f∈G,s.t.f∗a=b。
f 1 ∗ f 2 f_1*f_2 f1∗f2： f 1 , f 2 f_1,f_2 f1,f2都为置换， f 1 ∗ f 2 f_1*f_2 f1∗f2表示先作用 f 2 f_2 f2置换，再作用 f 1 f_1 f1置换得到的置换。

证明过程（有些比较显然的地方博主就懒得写证明了）：

考虑将置换群 G G G中的每个元素 f f f作用于所有等价类（共有 N ( G , C ) N(G,C) N(G,C)个等价类）中的各一个元素上，那么一共可以得到 ∣ G ∣ ∗ N ( G , C ) |G|*N(G,C) ∣G∣∗N(G,C)个元素。
考虑大小为 ∣ k ∣ |k| ∣k∣的等价类 k k k，其中一个状态为 k 1 k_1 k1，再考虑等价类中任意两个不同的状态 k 2 , k 3 k_2,k_3 k2,k3（可以等于 k 1 k_1 k1），设其到 k 2 k_2 k2的某个置换为 f 2 f_2 f2（即满足 f 2 ∗ k 1 = k 2 f_2*k_1=k_2 f2∗k1=k2，根据等价类的定义，这样的 f 2 f_2 f2一定存在至少一个），到 k 3 k_3 k3的置换为 f 3 f_3 f3。
设令 k 1 k_1 k1 不动的置换集合中的一个置换为 f 1 f_1 f1，那么有 k 2 = f 2 ∗ k 1 = f 2 ∗ ( f 1 ∗ k 1 ) = ( f 2 ∗ f 1 ) ∗ k 1 k_2=f_2*k_1=f_2*(f_1*k_1)=(f_2*f_1)*k_1 k2=f2∗k1=f2∗(f1∗k1)=(f2∗f1)∗k1，同理 k 3 = f 3 ∗ k 1 = ( f 3 ∗ f 1 ) ∗ k 1 k_3=f_3*k_1=(f_3*f_1)*k_1 k3=f3∗k1=(f3∗f1)∗k1。
显然 f 2 ≠ f 3 f_2 \neq f_3 f2=f3，根据群的性质，易知 f 2 ∗ f 1 ≠ f 3 ∗ f 1 f_2*f_1 \neq f_3*f_1 f2∗f1=f3∗f1，则 k 1 k_1 k1通过 G G G中置换到等价类 k k k中的每个元素（包括自己）的方案数都是相同的。
那么 k k k中所有状态在左边被计算共 ∣ G ∣ |G| ∣G∣次，在右边，使 k k k中每个状态不动的置换也是 ∣ G ∣ ∣ k ∣ \frac{|G|}{|k|} ∣k∣∣G∣个，总共被计算 ∣ G ∣ ∣ k ∣ ∗ ∣ k ∣ = ∣ G ∣ \frac{|G|}{|k|}*|k|=|G| ∣k∣∣G∣∗∣k∣=∣G∣次，于是左右式子相等。

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