【定量分析、量化金融与统计学】统计推断基础（2）---样本均值分布、中心极限定理、正态分布
目录
一、前言
二、样本均值分布
三、中心极限定理
*****中心极限定理
***大数定理与中心极限定理有什么区别？
四、正态（概率）分布
一、前言
我发现很多人学了很久的统计学，很多总是概念混淆，那今天我们来盘一盘统计推断基础的三个基本概念：样本均值分布、中心极限定理、正态分布。这个系列统计推断基础5部分分别是：
- 总体、样本、标准差、标准误 ：【定量分析、量化金融与统计学】统计推断基础（1）---总体、样本、标准差、标准误
- 样本均值分布、中心极限定理、正态分布
- 点估计、区间估计
- 假设检验
- I型误差，II型误差
重点在基础概念，基础不牢，地动山摇，不关你是做研究还是本科基础学习阶段，基础都是很重要的。
二、样本均值分布
上次我们说了什么是样本，什么是抽样。
那么这次首先从样本的均值分布开始：
那么我们现在有这样一个例子：
赛艇队由4名体重分别为152,156,160和164磅的桨手组成。找出所有替补队员的可能随机样本，并计算每个样本的样本均值。
那么我们看到有16种可能的样本：
我们求出每一个样本的均值，并将样本均值按照数量统计出来，查看这些样本均值是如何分布的。
那么这些样本均值是如何分布的呢？
我们用直方图看一看：
注意：这个是可能的样本分布的概率。
那么其实样本的均值分布，就是你抽样之后每个样本的均值的分布情况。
那么我们再看一个例子，一个数字库里面只由0,1两个数字组成，我们进行抽样，看一看可能的所有样本的概率分布：
那么随着抽样次数的增多，我们会发现：
在下方和上方的概率会缩小，而中间的概率相对于它们会变大。如果我们继续增加n，那么抽样分布的形状会变得更平滑，更钟形。
那么，我们就引出了中心极限定理。
三、中心极限定理
*****中心极限定理
一般来说，总体可以从任意一个分布开始，但随着抽样样本容量的增加，样本均值的抽样分布将越来越像钟形正态曲线。这就是中心极限定理的内容。
你的总体分布可以是一个直线，驼峰曲线，过山车曲线，等等，但是随着我抽样样本增加，他总会稳定在正态曲线。
那么这有什么用处呢？
用处太大了，你没发现，中心极限定理给了你一把统计学的利刃，那就是，你可以忽视这些数据原本总体的分布情况。也就是说，你可以在不知道源数据的分布情况的下进行抽样，因为反正他最后都会服从正态分布。这是很重要的，因为在现实生活中，你不可能对你统计的总体数据分布有详细的了解，那你的抽样为什么科学呢？因为他们经过抽样，都会收敛到正态分布。
注意，中心极限定理作用的是拥有均值的分布，为了使中心极限定理能够起作用，我们必须能够计算出样本的平均值。但是注意有一个分布称为柯西分布，没有样本均值，从而中心极限定理论并不适用于它。
***大数定理与中心极限定理有什么区别？
我个人的理解：
大数定理：当实验进行无数次后，所有结果的平均值稳定在某一个值，也就是最终均值收敛了。（我们可以理解为：你在进行单样本抽样，然后你一直扩充这个样本，比如总体有10亿个铅笔，你这个样本里面随机选了9亿9000万个个体，那么随着个体数的增加，这个样本的均值也趋于稳定）
中心极限定理：无数次试验后，所有样本的平均值分布是正态的，也就是说你每一个样本里面有多少个个体我不管，但是我要抽很多次，这些样本的均值逐渐收敛到正态分布。（我们理解为：总体有10亿个铅笔，我每次抽100个作为一个样本，我抽了100亿次，随着你抽样次数的增加，样本的均值分布逐渐稳定收敛）
四、正态（概率）分布
描述连续随机变量最有用的概率分布之一是正态概率分布。
正态分布为钟形曲线：
定义正态分布钟形曲线的概率密度函数为:：
正态分布的特征：
- 整个正态分布族由两个参数:均值μ和标准差σ来区分
- 正态曲线上的最高点在均值处，均值也是分布的中位数和众数
- 分布的平均值可以是任何数值:负的、零的或正的
- 正态分布是对称的，均值左边的正态曲线的形状是均值右边的正态曲线形状的镜像
- 曲线的尾部在两个方向上都无限延伸，理论上永远不会接触水平轴
- 标准偏差决定了正态曲线的平坦程度和宽度;标准差越大，曲线就越宽、越平，数据的变异性就越大
在一些常用的区间中值的百分比为:
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