作者：Miles Macklin & Matthias Muller
单位：NVIDIA
时间：2016

前言

本文要解决的主要问题是PBD中的刚度系数的迭代次数依赖问题。具体来说，仿真效果依赖于时间步长，或者说迭代次数。这会在以下两个方面造成问题：

参数（也就是刚度系数）与迭代次数有关。而且刚度系数是全局的，假如场景内同时出现多种材料（比如刚体和软体混合），就很难调整参数。
迭代次数的影响是非线性的，很难去手动调整参数。（迪士尼定律：参数与最终效果最好成线性关系，以利于艺术家去调整）

为了解决该问题，本文提出了一种新的约束公式。该约束公式与弹性势能的概念对应。公式的推导基于隐式时间积分和总拉格朗日乘数。

背景

让我们先回顾一下PBD:
PBD针对每个粒子，移动其位置以满足粒子间约束。下面的施公式给出了每个粒子应该移动的方向和距离。这有些类似梯度下降法。移动的方向为约束的梯度方向

而其中s控制了应该移动的步长

除了s以外，k是刚度系数，为用户给定的参数，M则是粒子质量所决定的一个系数。k在0到1之间取值。

下标i代表第i次迭代，j代表第j个约束。这个公式对每个粒子都成立，所以我们就不标注粒子的下标了。

关键问题就在于这个kj。我们看到k具有下标j。这代表它和迭代次数是有关的。但是用户控制的参数与迭代次数有关，这就造成了很难给定合适的参数。

XPBD正是为此而提出的新算法。它的算法流程如下：

公式（17）为

公式（18）为

我们对比PBD，发现其算法只是在一个方面进行了修改：也就是公式（18）。这就是XPBD的核心所在。

刚度系数k不见了，取而代之的是新的系数αj~\tilde{\alpha_j}αj~。

这个新的系数αj~\tilde{\alpha_j}αj~是融入到之前的缩放因子s当中的。

很显然，当αj~=0\tilde{\alpha_j}=0αj~=0的时候，XPBD的公式18就退化回了PBD的s公式。

这个αj~\tilde{\alpha_j}αj~叫做柔度系数。它实际上就是刚度系数的倒数（注意是整个矩阵的倒数，也就是矩阵的逆，不是单个值取倒数）。它和刚度系数一样，代表约束的强弱。如果是柔度为0，代表约束必须被满足。而柔度大则代表这个约束比较弱。

除了αj~=0\tilde{\alpha_j}=0αj~=0以外，我们还发现公式（18）中有一个新的变量λij\lambda_ijλij。这是一个标量，需要在迭代循环中也一起存储并且更新。这就是XPBD的额外开销。我们看算法流程中的步骤9就是更新λij\lambda_ijλij。它代表的是总拉格朗日乘数法中的乘数。下标ij代表它对应第i次迭代的第j个约束。

结果

1 简单谐振

首先对比精确解与数值解以衡量该方法的精度。

下图展示的是不同迭代次数的PBD方法与XPBD方法与精确解的对比。

所模拟的是弹簧的简单谐振运动。只使用了距离约束。静息距离为x=1，初始距离x0=1.5，质量mass=1，柔度alpha设为0.001。

显然XPBD的结果（绿色曲线）和精确解（蓝色曲线）吻合得很好。而PBD吻合较差。无论XPBD所采用的迭代次数是多少，结果总是这样的。而PBD结果则显然与迭代次数有关。

2 铰链

本算例用于与牛顿求解器进行对比。

用20个粒子组成一个铰链。然后令它自由下落。下图是不同时刻的铰链位置图（所有时刻都被画出来了）。左图是牛顿求解器，右图是XPBD。 mass=1.0, α=10−8\alpha=10^{-8}α=10−8 XPBD迭代次数50

下图是铰链顶部粒子所受约束力的曲线对比图。横坐标为帧数。

3 悬臂梁

此算例与FEM进行对比。

为了与FEM进行对比，首先要把不同的参数进行统一。于是定义柔度矩阵为刚度矩阵的逆。其中lambda和mu是两个拉梅参数

FEM采用Saint Venant-Kirchoff公式。杨氏模量E取10510^5105，泊松比0.3，时间步长0.008s。仍然采用第50帧结果。XPBD迭代次数50。

从视觉效果上几乎无差别。左图为FEM。右图为XPBD，迭代次数20。仿真结果为第50帧。

下图曲线对比的是悬臂梁例子FEM（牛顿求解器）与XPBD的约束h^2的曲线。

布料

下图为PBD（上排）与XPBD（下排）对比。从左到右迭代次数依次为20 40 80 160。

该布料采用64x64个粒子。约束共计24K个，均为距离约束。

PBD刚度系数为0.01。可以认为alpha=0的情况对应k=1的情况。

上图中PBD结果会随着迭代次数增加而变硬阻尼变大，但XPBD不受影响。

实验还对比了两者的耗时。对比发现XPBD只比PBD慢了不到2%。其主要效果在于仿真效果不受迭代次数的影响。

气球

气球内部采用体积约束，外部类似于可拉伸、弯曲、剪切的布料。
下图为XPBD效果

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【文献导读】XPBD: Position-Based Simulation of Compliant Constrained Dynamics

前言

背景

结果

1 简单谐振

2 铰链

3 悬臂梁

布料

气球

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