容斥原理

容斥原理指的是一种排重，补漏的计算思想，形式化的来说，我们有如下公式：
\[\left | \bigcup_{i=1}^nS_i \right |=\sum_{i}|S_i|-\sum_{i,j}|S_i\cap S_j|+...+(-1)^{n-1}\left | \bigcap_{i=1}^nS_i \right |\]

设\(P=\{1,2,...,n\}\)，则容斥原理还有如下表现形式：
\[\left | \bigcup_{i=1}^nS_i \right |=\sum_{T\subseteq P}(-1)^{|T|-1}\left | \bigcap_{i\in T} S_i \right |\]

运用典型

容斥原理在很多计数题中都得到了很好的运用，最经典的就是欧拉函数计算式的推导。

定理：设\(n=p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}\times ...\times p_k^{a_k}\)，则有\(\phi(n)=n\times \sum_{i=1}^k(1-\frac{1}{p_i})\)。

证明：
\(\phi(n)\)的定义为\(1-n\)的整数中与\(n\)互质的数的个数，于是所有\(p_1,p_2,...,p_k\)的倍数都不符合要求。设\(S_i\)代表\(1-n\)内\(p_i\)的倍数所组成的集合，那么可以得到：
\[\phi(n)=n-\left | \bigcup _{i=1}^kS_i \right |\]

利用容斥原理，我们可以得到：
\[\phi(n)=n-\sum_{T\subseteq P}(-1)^{|T|-1}\left | \bigcap_{i\in T} S_i \right |\]

不难得到
\[\left | \bigcap_{i\in T} S_i \right |=\frac{n}{\prod_{i\in T}p_i}\]

于是
\[\phi(n)=n-\sum_{T\subseteq P}(-1)^{|T|-1}\frac{n}{\prod_{i\in T}p_i}\\\phi(n)=n\times (1-\sum_{T\subseteq P}(-1)^{|T|-1}\frac{1}{\prod_{i\in T}p_i})\]

而由多项式乘法可以得到：\[1-\sum_{T\subseteq P}(-1)^{|T|-1}\frac{1}{\prod_{i\in T}p_i}=\sum_{i=1}^k(1-\frac{1}{p_i})\]

所以证得结论：\[\phi(n)=n\times \sum_{i=1}^k(1-\frac{1}{p_i})\]

Min-Max容斥

类似与容斥原理，我们有一种作用于最大最小值函数的容斥计算方法，称为\(\min-\max\)容斥。

仍设\(P=\{1,2,...,n\}\)，则有

\[\max_{i=1}^n\{x_i\}=\sum_{T\subseteq P}(-1)^{|T|-1}\min_{i\in T}\{x_i\}\]

普通的\(\min-\max\)容斥还有另一种很常见的形式，即\(\min-\max\)具有对称性：
\[\min_{i=1}^n\{x_i\}=\sum_{T\subseteq P}(-1)^{|T|-1}\max_{i\in T}\{x_i\}\]

具体证明可以参考这篇博客。

运用典型

\(\min-\max\)容斥最经典的运用就是结合数学期望的线性性，在求解\(\min-\max\)期望的题目中化繁为简，灵活转换。

形象的说，在期望中，两个不相关随机变量\(A,B\)不满足：\[E(\max(A,B))=\max(E(A),E(B))\\ \ \\ E(\min(A,B))=\min(E(A),E(B))\]

但是我们可以利用\(\min-\max\)容斥在最大最小值间建立联系：

\[E(\max_{i=1}^n\{x_i\})=\sum_{T\subseteq P}(-1)^{|T|-1}E(\min_{i\in T}\{x_i\})\\ \ \\ E(\min_{i=1}^n\{x_i\})=\sum_{T\subseteq P}(-1)^{|T|-1}E(\max_{i\in T}\{x_i\})\]