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线性同余方程

定义

给定整数\(a,b,m\)，对于形如\(ax\equiv b(mod\ m)\)的同余方程我们称之为一次同余方程，即线性同余方程。

解线性同余方程

对于此类方程，我们可以用如下方法快速的求解。

\[ ax\equiv b(mod\ m)⇔m|ax-b \]
不妨设\(-ym=ax-b\)，则可以将方程改写为\(ax+my=b\)，该不定方程可以使用扩展欧几里得算法快速地求解(详见『扩展欧几里得算法 Extended Euclid』)。

对于\(gcd(a,m)\not |b\)的情况，也可以直接判定为原方程无解。

对于使用扩展欧几里得算法求解出来的一个解\(x_0\)，所有模\(\frac{m}{gcd(a,m)}\)意义下与\(x_0\)同余的整数都是方程的解，这是可以由不定方程的通解公式得到的。通常来说，我们需要求解最小非负整数解时，可以使用取模操作让\(x\)落在\(0\)到\(\frac{m}{gcd(a,m)}-1\)的范围内，就得到了最小解。

同余方程(NOIP2012)

Description

求关于 x 的同余方程 ax≡1(mod b) 的最小正整数解。

Input Format

输入只有一行，包含两个正整数 a，b，用一个空格隔开。

Output Format

输出只有一行，包含一个正整数 x0，即最小正整数解。输入数据保证一定有解。

Sample Input

3 10

Sample Output

7

解析

模板题，将方程化为\(ax+by=1\)，用扩展欧几里得算法求解。由于数据保证\(b\geq2\)，所以不存在\(x=0\)的解，利用取模操作就能保证得到的解是最小整数解。

\(Code:\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline long long Exeuclid(long long a,long long &x,long long b,long long &y,long long c)
{if (b==0){x=c/a,y=0;return a;}else {long long p=Exeuclid(b,x,a%b,y,c);long long x_=x,y_=y;x=y_;y=x_-a/b*y_;return p;}
}
long long A,B,X,Y;
int main(void)
{scanf("%lld%lld",&A,&B);long long p=Exeuclid(A,X,B,Y,1);printf("%lld\n",(X%(B/p)+(B/p))%(B/p));return 0;
}

中国剩余定理

描述

对于形如

\[ \begin{cases} x \equiv a_1(mod\ m_1) \\ x \equiv a_2(mod\ m_2) \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ... \\ x \equiv a_n(mod\ m_n) \end{cases} \]

\(n\)个线性同余方程组成的线性同余方程组，如果有模数\(m_1,m_2,...,m_n\)两两互质，则方程组一定有解，解为\(x=\sum_{i=1}^{n}a_iM_it_i\)。

其中，\(m=\prod_{i=1}^nm_i\)，\(M_i=\frac{m}{m_i}\)，\(t_i\)为线性同余方程\(M_it_i \equiv 1(mod\ m_i)\)的一个解。

证明：
由于\(t_i\)为线性同余方程\(M_it_i \equiv 1(mod\ m_i)\)的一个解，所以对于\(\forall \ i,a_iM_it_i \equiv a_i(mod\ m_i)\)成立，又因为\(M_i\)是除了\(m_i\)以外所有模数的倍数，即对于\(\forall \ k\not =i,a_iM_it_i \equiv 0(mod\ m_k)\)，所以解\(x=\sum_{i=1}^{n}a_iM_it_i\)对方程\(x \equiv a_i(mod\ m_i)\)也成立，故该解对于每一个方程都成立。

对于该同余方程组，其通解可以表示为\(x+km(k\in Z)\)，对于最小非负整数解，也是通过取模\(m\)的操作就可以了。

曹冲养猪

Description

自从曹冲搞定了大象以后，曹操就开始捉摸让儿子干些事业，于是派他到中原养猪场养猪，可是曹冲满不高兴，于是在工作中马马虎虎，有一次曹操想知道母猪的数量，于是曹冲想狠狠耍曹操一把。

举个例子，假如有16头母猪，如果建了3个猪圈，剩下1头猪就没有地方安家了。如果建造了5个猪圈，但是仍然有1头猪没有地方去，然后如果建造了7个猪圈，还有2头没有地方去。

你作为曹总的私人秘书理所当然要将准确的猪数报给曹总，你该怎么办？

Input Format

第一行包含一个整数n (n <= 10) – 建立猪圈的次数，

解下来n行，每行两个整数ai, bi( bi <= ai <= 1000), 表示建立了ai个猪圈，有bi头猪没有去处。你可以假定ai,aj互质.

Output Format

输出包含一个正整数，即为曹冲至少养母猪的数目。

Sample Input

3
3 1
5 1
7 2

Sample Output

16

解析

中国剩余定理模板题，我们直接利用\(Exeuclid\)算法和线性同余方程的知识，解出\(t_i\)，然后构造最小非负整数解即可。

\(Code:\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mset(name,val) memset(name,val,sizeof name)
const int N=12;
long long a[N],m[N],M[N],t[N],n,m_,ans;
inline void input(void)
{scanf("%lld",&n);for (int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld%lld",&m[i],&a[i]);
}
inline long long Exeuclid(long long a,long long &x,long long b,long long &y,long long c)
{if (b==0){x=c/a,y=0;return a;}else{long long p=Exeuclid(b,x,a%b,y,c);long long x_=x,y_=y;x=y_;y=x_-a/b*y_;return p;}
}
inline void china(void)
{m_=1;for (int i=1;i<=n;i++)m_*=m[i];for (int i=1;i<=n;i++)M[i]=m_/m[i];for (int i=1;i<=n;i++){long long y;Exeuclid(M[i],t[i],m[i],y,1);ans += a[i]%m_ * M[i]%m_ * t[i]%m_;ans %= m_;}
}
int main(void)
{input();china();printf("%lld\n",(ans%m_+m_)%m_);return 0;
}

拓展中国剩余定理

对于形如

\[ \begin{cases} x \equiv a_1(mod\ m_1) \\ x \equiv a_2(mod\ m_2) \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ... \\ x \equiv a_n(mod\ m_n) \end{cases} \]
这样的方程组，如果模数\(m\)两两互质，那么我们可以直接利用中国剩余定理构造出解。但是对于模数\(m\)不互质的情况，我们其实也可以利用类似的方法求解。

我们考虑用数学归纳法的过程构造解。对于前\(k-1\)个方程，假设已经有一个合法的解\(x\)，那么我们利用如下的方法得到满足前\(k\)个方程的解：

记\(m=lcm(m_1,m_2,...,m_{k-1})\)，显然，对于\(\forall \ p\in Z,x+pm\)都是前\(k-1\)个方程的解。
那么我们找一个\(p=t\)，使得\(x+pm\equiv a_k(mod\ m_k)\)就是前\(k\)个方程的解了。这个就是扩展欧几里得算法的事了嘛。
\(x+pm\equiv a_k(mod\ m_k)⇔pm\equiv a_k-x(mod\ m_k)\)，扩展欧几里得解一下，如果无解，则原方程组无解。

当然，求解最小整数解还是取模就行了。

\(Code:\)

inline long long ExCRT(void)
{long long m_=m[1],x=r[1];for (int i=2;i<=n;i++){long long x_,y_;if ( (r[i]-x) % gcd(m_,m[i]) )return -1;long long p=Exeuclid(m_,x_,m[i],y_,r[i]-x);long long Mod=m[i]/p;//要对当前的解先取模，防止爆longlongx_ = (x_%Mod+Mod)%Mod;x += x_ * m_;m_ = m_*m[i]/p;x = (x+m_)%m_;}return x;
}