Acwing1072 树的最长路径（树的直径）树形Dp 记忆化搜索

题目描述

原题链接： https://www.acwing.com/problem/content/1074/

思路

以下针对树的边权都一样的情况。

推荐使用BFS，比赛的时候栈空间只有1MB，DFS太深可能会爆战。

使用反证法证明：

u是距离a最远的点，bc是树的直径。有两种情况：

au和bc有交点。有交点x的话，由于u是距离a最远的点，则xu>xc, 即bu>bc。但是，由于bc是树的直径，bc是最长的，bc应该大于bu。矛盾。
au和bc没交点。由于这是树，所以两条直线一定是联通的。假设从x连到y。由于u是距离a最远的点，所以①>②+③。但是由于bc是直径，是最长的。by+②+①明显大于bc。这与bc是直径矛盾。

综上，德政。

下边是求带权的树的最长路径。

代码

// 铅笔大佬的题解：https://www.acwing.com/solution/content/63883/// 任选树的一个节点，作为根节点
// 然后确定拓扑序
// 通过递归求子树中的最大值和次大值。维护根节点的最大值和次大值。
// 结果就是最大值加次大值。#include<iostream>
#include<cstring>using namespace std;const int N = 10010,  M = N << 1;// 无向图int n;
int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx;
// f1[i] 表示距离i节点的最长路径
// f2[i] 表示距离i节点的次长路径
int f1[N], f2[N], res;void add(int a, int b, int c)
{e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}void dfs(int u, int father)
{f1[u] = f2[u] = 0;for(int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]){int j = e[i];// 不能往父节点搜，遇到了父节点要直接跳过。if(j == father) continue;dfs(j, u);// u变成了父节点// 更新f1[u] 和 f2[u]// 注意这个=号，大于等于都要更新，等于的话会影响f2[u]if(f1[j] + w[i] >= f1[u]) f2[u] = f1[u], f1[u] = f1[j] + w[i];else if(f1[j] + w[i] > f2[u]) f2[u] = f1[j] + w[i];}res = max(res, f1[u] + f2[u]);
}int main()
{memset(h, -1, sizeof h);cin >> n;for(int i = 0; i < n - 1; i ++){int a, b, c;cin >> a >> b >> c;add(a, b, c), add(b, a, c);}//任意选取一个点作为根节点，// 这样整棵树的拓扑结构被唯一确定下来了dfs(1, -1); // -1表示不合法，根节点没有父节点。cout << res << endl;return 0;
}

复杂度分析

时间复杂度：
每个点只会被搜到一次，O(n)。

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