应该如何理解矩阵的秩

无聊的数学定义

在 m × m m \times m m×m的矩阵 A A A中, 任取 k k k行与 k k k列, 位于这些行列交叉处的 k 2 k^{2} k2个元素, 不改变它们在矩阵中所处的位置次序而得的 k k k阶行列式, 称为矩阵 A A A的 k k k阶子式.

设在矩阵 A A A中有一个不等于0的r阶子式 D D D, 且所有 r + 1 r+1 r+1阶子式(如果存在的话)全等于0, 那么 D D D称为矩阵 A A A的最高阶非零子式, 数r称为矩阵 A A A的秩, 记作: R ( A ) R(A) R(A)

零矩阵的秩为0;
R ( A ) = R ( A T ) R(A) = R(A^{T}) R(A)=R(AT);
可逆矩阵称为满秩矩阵;
不可逆矩阵称为降秩矩阵.

通俗定义

矩阵 A A A的纵列向量组的极大无关组.

对于n阶方阵

R ( A ) = R c ( A ) = R r ( A ) R c 是列秩 R r 是行秩 R(A) = R_{c}(A) = R_{r}(A) \\ \qquad \qquad R_{c}是列秩 \\ \qquad \qquad R_{r}是行秩 R(A)=Rc(A)=Rr(A)Rc是列秩Rr是行秩

对于 m × n m\times n m×n矩阵
R ( A ) = m i n { R c ( A ) , R r ( A ) } R(A) = min\{ R_{c}(A), R_{r}(A) \} R(A)=min{Rc(A),Rr(A)}

几何定义

一个线性变换(矩阵)的秩, 就是变换后, 还能保持一个非零体积的几何形状的最大的维度.

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