2020 icpc济南 A - Matrix Equation (高斯消元求自由元个数)

链接：
A - Matrix Equation
题意：
给一个 A 矩阵一个 B 矩阵（矩阵元素为 0 或 1），求有多少个 C 矩阵满足 A X C = B . C (叉乘和点乘)。
思路：

赛中发现样例答案都是 2 的幂次，然后盲猜答案是二的幂次，队友暴力打了个表发现确实如此，然后随机造了一些样例发现答案好像是把某些位置看成一块，然后就可以把这一块全部取 0 或 1.然后慢慢的又发现 每一列可以单独考虑求有几个块。（由于线代只实在学得菜 + 不知道高斯消元是什么，赛后才知道这就是所谓的自由元）。然后就开始自闭了，中间甚至连方程都推了，奈何实在是不知道高斯消元这个神奇的东西。然后就铜尾了（第 209 属实幸运）。。。
然后这题其实就是每一列单独考虑，然后列出方程组，稍微化简一下就是高斯消元求异或方程组自由元的题了

就变成了上面的形式，就可以直接套模板了推荐一篇博客高斯消元

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 2e2 + 7;
const int mod = 998244353;
int a[maxn][maxn];//增广矩阵
int x[maxn];//解集
int freeX[maxn];//自由变元
int n;
int A[maxn][maxn],B[maxn][maxn];
ll poww(ll a,ll b){ll ans=1;while(b > 0){if(b & 1) ans = ans * a % mod;a = a * a % mod;b >>= 1;}return ans;
}
int Gauss(int equ,int var){for(int i=0;i<=var;i++){x[i]=0;freeX[i]=0;}int col=0;//当前处理的列int num=0;//自由变元的序号int row;//当前处理的行for(row=0;row<equ&&col<var;row++,col++){//枚举当前处理的行int maxRow=row;//当前列绝对值最大的行for(int i=row+1;i<equ;i++){//寻找当前列绝对值最大的行if(abs(a[i][col])>abs(a[maxRow][col]))maxRow=i;}if(maxRow!=row){//与第row行交换for(int j=row;j<var+1;j++)swap(a[row][j],a[maxRow][j]);}if(a[row][col]==0){//col列第row行以下全是0，处理当前行的下一列freeX[num++]=col;//记录自由变元row--;continue;}for(int i=row+1;i<equ;i++){if(a[i][col]!=0){for(int j=col;j<var+1;j++){//对于下面出现该列中有1的行，需要把1消掉a[i][j]^=a[row][j];}}}}for(int i=row;i<equ;i++)if(a[i][col]!=0)return -1;int temp=var-row;//自由变元有var-row个if(row<var)//返回自由变元数return temp;return 0;
}
void init() {for(int i = 0;i < n;i++) {for(int j = 0;j < n;j++) {a[i][j] = A[i][j];}}
}
int main(){scanf("%d",&n);for(int i = 0; i < n; i ++){for(int j = 0; j < n; j ++){scanf("%d",&A[i][j]);a[i][j] = A[i][j];}}for(int i = 0; i < n; i ++){for(int j = 0; j < n; j ++){scanf("%d",&B[i][j]);}}ll ans = 1;for(int r = 0;r < n; r ++){init();for(int i = 0; i < n; i ++){a[i][i] = (A[i][i] - B[i][r] + 2) % 2;}int freeNum=Gauss(n,n);//获取自由元if(freeNum == -1) continue;ans = (ans  *  poww(2 , freeNum)) % mod;}printf ("%lld\n",ans);return 0;
}

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