线性方程组的矩阵形式

对于含有 n n n 个未知数 x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_1,x_2,\cdots,x_n x1,x2,⋯,xn 的 n n n 个线性方程的方程组
{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ a 2 n x n = b 2 ⋯ a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ⋯ a m n x n = b m (1) \begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots a_{1n} x_n = b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots a_{2n} x_n = b_2 \\ \cdots \\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \cdots a_{mn} x_n = b_m \end{cases} \tag{1} ⎩ ⎨ ⎧a11x1+a12x2+⋯a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯a2nxn=b2⋯am1x1+am2x2+⋯amnxn=bm(1)
有如下几个矩阵
A = ( a i j ) , x = ( x 1 x 2 ⋮ x n ) , b = ( b 1 b 2 ⋮ b m ) , B = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n b 1 a 21 a 22 ⋯ a 2 n b 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n b m ) \boldsymbol{A} = (a_{ij}), \hspace{1em} \boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}, \hspace{1em} \boldsymbol{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}, \hspace{1em} \boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m \\ \end{pmatrix} A=(aij),x=⎝ ⎛x1x2⋮xn⎠ ⎞,b=⎝ ⎛b1b2⋮bm⎠ ⎞,B=⎝ ⎛a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋯a1na2n⋮amnb1b2⋮bm⎠ ⎞

其中 A \boldsymbol{A} A 称为系数矩阵， x \boldsymbol{x} x 称为未知数矩阵， b \boldsymbol{b} b 称为常数项矩阵， B \boldsymbol{B} B 称为增广矩阵。

方程组 ( 1 ) (1) (1) 可以利用矩阵乘法写成矩阵形式：
A m × n x n × 1 = B m × 1 (1’) \boldsymbol{A}_{m \times n} \boldsymbol{x}_{n \times 1} = \boldsymbol{B}_{m \times 1} \tag{1'} Am×nxn×1=Bm×1(1’)
特别当 b = 0 \boldsymbol{b} = \boldsymbol{0} b=0 时得到 m m m 个方程的 n n n 元齐次线性方程组的矩阵形式
A m × n x n × 1 = 0 m × 1 (2) \boldsymbol{A}_{m \times n} \boldsymbol{x}_{n \times 1} = \boldsymbol{0}_{m \times 1} \tag{2} Am×nxn×1=0m×1(2)

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