python--剑指offer--14- I. 剪绳子

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]…k[m-1] 。请问 k[0]k[1]…*k[m-1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

示例 1：
输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1
示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

提示：
2 <= n <= 58

1. 方法一：找规律

转载自

from math import powclass SolutionRegular:def cuttingRope(self, n: int) -> int:if n <= 3:return n - 1result = divmod(n, 3)if result[1] == 0:return int(pow(3, result[0]))elif result[1] == 2:return int(pow(3, result[0]) * 2)else:return int(pow(3, (result[0]-1))) << 2if __name__ == '__main__':solution = SolutionRegular()result = solution.cuttingRope(10)print(result)"""
运行结果：
36Process finished with exit code 0
"""

2. 方法二：暴力递归

转载自

从上图看出我们可以把求解 F(n) 的问题分解成求解 F(n−1) 的问题，以此类推，直到求解到 F(2) 时，F(2) = 1，递推回去，问题就得到了解决。这用到的就是分治的思想。

分治思想的解决方法往往是递归，注意到我们每次将一段绳子剪成两段时，剩下的部分可以继续剪，也可以不剪，因此我们得到了递归函数F(n)=max(i×(n−i),i×F(n−i)),i=1,2,…,n−2。

class SolutionViolenc:def cuttingRope(self, n: int) -> int:if n == 2:return 1res = -1for i in range(1, n):res = max(res, i * max(self.cuttingRope(n - i), (n - i)))return resif __name__ == '__main__':solution = SolutionViolenc()result = solution.cuttingRope(10)print(result)"""
运行结果：
36Process finished with exit code 0
"""

复杂度分析

时间复杂度：O(2^N) 。
空间复杂度：O(2^N)。

3. 方法三：记忆化技术（自顶向下）

转载自

上述暴力解法会超时，但是很多进阶解法往往是暴力解法的优化。注意到上述代码中超时的原因主要是因为重复计算了 F(n)，为了避免重复计算可以使用记忆化（memoization）技术（维基百科）。

记忆化技术的代码中经常需要建立函数 memoize 辅助实现。我们使用数组 f 来保存长度为 i时的最大长度 f[i]，最后返回 f[n]即可。

from collections import dequeclass SolutionMemo:def cuttingRope(self, n: int) -> int:# 使用辅助函数def memoize(n):if n == 2:return 1if f[n] != 0:  # 如果f[n]已经计算过，直接返回避免重复计算return f[n]res = -1for i in range(1, n):res = max(res, i * max((n - i), memoize(n - i)))f[n] = resreturn resf = deque([0]*(n+1))return memoize(n)if __name__ == '__main__':solution = SolutionMemo()result = solution.cuttingRope(10)print(result)"""
运行结果：
36Process finished with exit code 0
"""

复杂度分析

时间复杂度：O(2^N)。
空间复杂度：O(N)。使用了数组 f。

记忆化搜索也叫“备忘录法”，它从类似上边树形图结构中的 F(n) 出发，逐步递归到已知值 F(2)，可以理解成为自顶向上的解决办法。

4. 方法四：动态规划（自底向上）

转载自

使用动态规划，从已知值 F(2)逐步迭代到目标值 F(n)，它是一种自底向上的方法。

from collections import dequeclass SolutionDp:def cuttingRope(self, n: int) -> int:dp = deque([0]*(n+1))dp[1] = 1dp[2] = 1for i in range(3, n+1):for j in range(i):dp[i] = max(dp[i], j*max(dp[i-j], i-j))return dp[n]if __name__ == '__main__':solution = SolutionDp()result = solution.cuttingRope(10)print(result)"""
运行结果：
36Process finished with exit code 0
"""

复杂度分析:

时间复杂度：O(N^2)。
空间复杂度：O(N)。

5. 方法五：动态规划优化解法

转载自

任何大于 3 的数都可以拆分为数字 1，2，3的和，且它们对 3 的余数总是0，1，2，因此我们可以仅用 dp[0]，dp[1]，dp[2] 表示所有大于 3 的值，这样空间复杂度可降到 O(1)。

from collections import dequeclass SolutionDpOpt:def cuttingRope(self, n: int) -> int:dp = deque([0, 1, 1])for i in range(3, n+1):dp[i % 3] = max(max(dp[(i-1) % 3], i - 1),2 * max(dp[(i-2) % 3], i - 2),3 * max(dp[(i-3) % 3], i - 3))return dp[n % 3]if __name__ == '__main__':solution = SolutionDpOpt()result = solution.cuttingRope(10)print(result)"""
运行结果：
36Process finished with exit code 0
"""

复杂度分析:

时间复杂度：O(N)。
空间复杂度：O(1)。使用了有限长的数组。