题目地址：

https://leetcode.com/problems/sum-of-total-strength-of-wizards/

给定给一个长nnn数组AAA，对于每个子数组aaa，求f(a)=min⁡a×∑af(a)=\min a\times \sum af(a)=mina×∑a。求∑a(min⁡a×∑a)\sum_a (\min a\times \sum a)∑a(mina×∑a)。

设AAA的前缀和数组为ppp，对于A[k]A[k]A[k]，我们求出其右边第一个比其小的数A[j]A[j]A[j]（不存在则视为j=nj=nj=n）和左边第一个比其小于等于的数A[i]A[i]A[i]（不存在则视为i=−1i=-1i=−1），这两个数的位置可以用单调栈得出。那么A[k]A[k]A[k]可以作为A[i:j]A[i:j]A[i:j]的最小值。主要的问题是如何求A[i+1:j−1]A[i+1:j-1]A[i+1:j−1]的所有含A[k]A[k]A[k]的子数组的和的总和。设ppp的前缀和数组为qqq（q[i]q[i]q[i]是ppp的前iii项的和，由于ppp的长度是n+1n+1n+1，qqq的长度则会变为n+2n+2n+2），则含A[k]A[k]A[k]的子数组的和的总和为：(k−i)(q[j+1]−q[k+1])−(j−k)(q[k+1]−q[i+1])(k-i)(q[j+1]-q[k+1]) - (j-k)(q[k+1]-q[i+1])(k−i)(q[j+1]−q[k+1])−(j−k)(q[k+1]−q[i+1])可以这么理解，这个和即为以A[k,k+1,...,j−1]A[k,k+1,...,j-1]A[k,k+1,...,j−1]为结尾的前缀和减去A[i,...,k−1]A[i, ...,k-1]A[i,...,k−1]结尾的前缀和的所有组合的总和，我们可以把被减数汇总，其会重复加k−ik-ik−i次，同理减数也可以汇总，其会重复加j−kj-kj−k次。代码如下：

class Solution {public:int totalStrength(vector<int>& v) {const int MOD = 1e9 + 7;int n = v.size();long sum = 0, ss[n + 2];memset(ss, 0, sizeof ss);for (int i = 1; i <= n; i++) {sum += v[i - 1];ss[i + 1] = (ss[i] + sum) % MOD;}int l[n], r[n];fill(l, l + n, 0);fill(r, r + n, n);stack<int> stk;for (int i = 0; i < n; i++) {while (stk.size() && v[stk.top()] > v[i]) {r[stk.top()] = i;stk.pop();}l[i] = stk.size() ? stk.top() : -1;stk.push(i);}int res = 0;for (int k = 0; k < n; k++) {sum = ((k - l[k]) * (ss[r[k] + 1] - ss[k + 1]) % MOD -(r[k] - k) * (ss[k + 1] - ss[l[k] + 1]) % MOD) % MOD;sum = (sum + MOD) % MOD;res = (res + sum * v[k]) % MOD;}return res;}
};

时空复杂度O(n)O(n)O(n)。

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