快速幂快速乘原理讲解（模板）

1 问题描述

2 原因分析

3 解决方法

4 快速幂讲解

5 快速乘讲解

6 完整代码

7 References

1 问题描述

我们发现，在 int 型下使用 pow 函数求 $5^{3}$ ，结果为 124 。

2 原因分析

pow 函数的返回值为 double型 ，因浮点数长度问题，存在截断误差。

3 解决方法

将变量定义为 double 型

有没有更快求幂的方法？

4 快速幂讲解

假设我们要求 $a^{b}$ ，按照朴素算法就是把 a 连乘 b 次，这样一来时间复杂度是 O(b) ，即是 O(n) 级别。但快速幂能做到 O(logn) 的复杂度。

快速幂：

对于二进制的位运算，我们需要用到 "&" 与 ">>" 运算符，详见位运算符的应用

先上实现快速幂运算的具体代码：

long long ksm(long long a, long long b) {long long ans = 1, base = a;while(b != 0) {if(b & 1 != 0) {ans *= base;}base *= base;b >>= 1;}return ans;
}

其中 “b & 1” 指取 b 的二进制数的最末位，如 11 的二进制数为 1011 ，第一次循环，取的是最右边的 “1” ，以此类推。

而 “b >>= 1” 等效于 b = b >> 1，即右移 1 位，删去最低位。

以 a ^ 11 为例：

b 的二进制数为 1011，二进制从右向左算，但乘出来的顺序是 $(a^{2^{0}})\,*\,(a^{2^{1}})\,*\,(a^{2^{3}})$ ，是从左向右的。我们不断的让 $base\,*=\,base$ 目的是累乘，以便随时对 ans 做出贡献。

要理解 $base\,*=\,base$ 这一步：因为 $base\,*\,base$ == $base^{2}$ ，下一步再乘，就是 ( $base^{2}$ ) * ( $base^{2}$ ) == $base^{4}$ ，然后同理 ( $base^{4}$ ) * ( $base^{4}$ ) == $base^{8}$ ，由此可以做到 $base$ → $base^{2}$ → $base^{4}$ → $base^{8}$ → $base^{16}$ → $base^{32}$ .......指数正好是 $2^{i}$ 。再看上面的例子， $a^{11}$ = $a^{1}\,*\,a^{2}\,*\,a^{8}$ ，这三项就可以完美解决了，快速幂就是这样。

如还有不明白的地方，建议手动模拟代码的运行过程。

5 快速乘讲解

我们知道，在计算机中做加法运算会比乘法快得多（参考模电中的加法器），做乘法运算往往会溢出，即使用 long long 类型也拯救不了。因此需要寻找一种能高效完成乘法运算且不会溢出的算法，这就是快速乘算法。

快速乘与快速幂原理相似，也是将运算转换为二进制处理：

以 a * 11 为例： 11 的二进制数为 1011，则有 $a*11 = a*2^{0}\,+\,a*2^{1}\,+\,a*2^{3}$

就是把快速幂中的 * 号改为＋号

long long ksc(long long a, long long b) {long long ans = 0;while(b != 0) {if(b & 1 != 0) {ans += a;}a += a;b >>= 1;}return ans;
}

此版本的复杂度和快速幂一样，也是 O(logn) 。如果需要特别卡常数，可以去了解 O(1) 版本的快速乘。

6 完整代码

为了防止溢出，一般快速幂和快速乘的算法会在 mod 下运用，下面给出取模运算代码。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;typedef long long ll;
const ll mod = 1e7;//a ^ b
ll ksm(ll a, ll b, ll mod) {ll ans = 1, base = a;while(b != 0) {if(b & 1 != 0) {ans = (ans * base) % mod;}base = (base * base) % mod;b >>= 1;}return ans;
}//a * b
ll ksc(ll a, ll b, ll mod) {ll ans = 0;while(b != 0) {if(b & 1 != 0) {ans = (ans + a) % mod;}a = (a + a) % mod;b >>= 1;}return ans;
}int main() {cout << "5 ^ 3 = " << ksm(5, 3, mod) << endl;cout << "345352 * 11 = " << ksc(345352, 11, mod) << endl;return 0;
}

运算结果：

7 References

https://www.cnblogs.com/CXCXCXC/p/4641812.html

以上，有问题欢迎指正！