习题¹

^{问在下列条件下是否有lim⁡n→∞xn=a.\lim\limits_{n\to\infin}x_n=a.n→∞limxn=a.

(1) 任给ϵ>0，存在N∈N，当n∈N且n⩾N时，有∣xn−a∣⩽ϵ.任给\epsilon>0，存在N\in{\Nu}，当n\in{\Nu}且n\geqslant{N}时，有\lvert{x_n-a}\rvert\leqslant\epsilon.任给ϵ>0，存在N∈N，当n∈N且n⩾N时，有∣xn−a∣⩽ϵ.

(2) 任给ϵ(1>ϵ>0)，存在N∈N，当n∈N且n>N时，有∣xn−a∣<ϵ.任给\epsilon(1>\epsilon>0)，存在N\in{\Nu}，当n\in{\Nu}且n>N时，有\lvert{x_n-a}\rvert<\epsilon.任给ϵ(1>ϵ>0)，存在N∈N，当n∈N且n>N时，有∣xn−a∣<ϵ.

(3) 任给k∈N，存在N∈N，当n∈N且n>N时，有∣xn−a∣<1k.任给k\in{\Nu}，存在N\in{\Nu}，当n\in{\Nu}且n>N时，有\lvert{x_n-a}\rvert<\frac{1}{k}.任给k∈N，存在N∈N，当n∈N且n>N时，有∣xn−a∣<k1.

(4) 对于任给的k∈N，{xn}中只有有限多项在a的1k−邻域外.对于任给的k\in{\Nu}，\{x_n\}中只有有限多项在a的\frac{1}{k}-邻域外.对于任给的k∈N，{xn}中只有有限多项在a的k1−邻域外.

(5) 对于任给的ϵ>0，{xn}有无限多项在a的ϵ−邻域内.对于任给的\epsilon>0，\{x_n\}有无限多项在a的\epsilon-邻域内.对于任给的ϵ>0，{xn}有无限多项在a的ϵ−邻域内.}

^{证明下列等式：

(1) lim⁡n→∞n2n+1=12.\lim\limits_{n\to\infin}\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2}.n→∞lim2n+1n=21.

(2) lim⁡n→∞0.99...9⏟n个=1.\lim\limits_{n\to\infin}0.\underbrace{99...9}_{\text{n个}}=1.n→∞lim0.n个99...9=1.

(3) lim⁡n→∞arctan⁡n=π2.\lim\limits_{n\to\infin}\arctan{n}=\frac{\pi}{2}.n→∞limarctann=2π.}

^{《数学分析教程（上册）》许绍溥，姜东平编著南京大学出版社，2013.11 ↩︎}

数学分析-第1.1节-数列极限习题相关推荐

积分上下限无穷_数学分析|第九章定积分利用等价无穷小量和定积分定义解决数列极限问题总结...
当公式或文字展示不完全时,记得向左←滑动哦! 摘要: 当我们利用等价无穷小量时,不仅仅可以利用等价替换,有的时候我们需要利用极限的定义语言来解决问题,当等价无穷小量和连加数列结合在一起时,虽然很多同学 ...
【数学分析笔记06】数列极限的四则运算
引言本科毕业以后越觉数学的奇妙,想弥补一下数学知识的证明,做点记录,方便后续查阅. 1.知识铺垫:数列极限的四则运算定理2,2.5 设lim⁡n→∞xn=a\operatorname*{lim}_ ...
数学分析思想方法第一期：计算或证明数列极限
大家好,这里是小张老师. 在计算数列极限中,有以下几种常用的方法:直接法.放缩法.两边夹法.阶比较法等. 下面小张老师将详细为大家介绍"放缩法". 放缩法放缩法即"适当 ...
1.1 数列极限与函数极限
第一章数学分析全文均为手敲,如果发现有误,请于评论区交流讨论留言,作者会及时修改 1.1 数列极限与函数极限数列极限为有界量 lim⁡n→∞an=a:∀ε>0,∃N(ε)∈N,s.t.∀n ...
蔡高厅高等数学 06 数列极限的定义、数列收敛的性质1
06 数列极限的定义 1.3 倍速已给出数列{Un}和常数A,如果对于任意给定的正数a,都存在一个正整数N,使得对于n>N的一切Un, 不等式 |Un-A|<a 恒成立, 则称n-& ...
《张宇考研数学基础30讲》思维导图-第2讲数列极限
<张宇考研数学基础30讲>思维导图-第2讲数列极限此思维导图为作者2022考研数学复习过程中整理的思维导图,结合宇哥授课内容,在宇哥<基础30讲>的思维导图上做了扩充,如有 ...
第二章数列极限与数值级数
目录数列极限与数值级数无穷求和--级数级数的由来级数和的定义收敛级数的性质同号级数列收敛的判别方法正号级数收敛的充要条件比较判别法比值判别法与根值判别法变号级数收敛性判别方法交 ...
math_(函数数列)极限的含义误区和符号梳理/邻域去心邻域邻域半径
文章目录 ★\bigstar★极限的含义&误区和符号梳理 ∗\ast∗数列和函数的极限的定义小结极限的定义&理解⊳\rhd⊳ 数列极限邻域&去心邻域&邻域半径函数 ...
数列极限四则运算误区
数列极限的四则运算法则有这么一条:<br> $$\lim_{n\rightarrow\infty}(a_n+b_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}a_n+\lim_{ ...

数学分析-第1.1节-数列极限习题

习题¹

数学分析-第1.1节-数列极限习题相关推荐

最新文章

热门文章

数学分析-第1.1节-数列极限习题

习题1

数学分析-第1.1节-数列极限习题相关推荐

最新文章

热门文章

习题¹