机器人学导论（第四版）学习笔记——第二章

2. 空间描述和变换
- 2.1 引言
- 2.2 描述：位置、姿态与位姿
- 2.3 映射：从一个坐标系到另一个坐标系的变换
- 2.4 算子：平行，旋转和变换
- 2.5 总结和说明
- 2.6 变换的计算
- 2.7 变换方程
- 2.8 其他姿态描述方法
- 2.9 自由矢量的变换
- 2.10 计算问题

2. 空间描述和变换

2.1 引言

定义坐标系并给出表示规则，是描述零件、工具、机构位置和姿态的基础。
世界坐标系是所有坐标系的参考和基础。

2.2 描述：位置、姿态与位姿

位置 + 姿态 = 位姿

位置描述： 3x1的矢量可以描述坐标系中任一点的位置。
用三个相互正交的带有箭头的单位矢量表示坐标系{A}。
用一个矢量表示P点，等价于空间中的一个位置，亦可以用一组有序的3个数来表示。
AP=(PxPyPz)^AP = \left( \begin{matrix} P_x\\ P_y\\ P_z \end{matrix} \right)AP=⎝⎛PxPyPz⎠⎞

姿态描述： 我们在物体上固定一个坐标系（连体坐标系），给出此坐标系相对于参考坐标系的描述，用来表达该物体的姿态。
连体坐标系{B}，参考坐标系{A}。X^B\widehat X_BXB，Y^B\widehat Y_BYB，Z^B\widehat Z_BZB表示坐标系{B}主轴方向的3各单位矢量。当以{A}为参考坐标系时，3个单位矢量可以写作：AX^B^A\widehat X_BAXB，AY^B^A\widehat Y_BAYB，AZ^B^A\widehat Z_BAZB。且将3个矢量按顺序排列成组成一个3x3的矩阵，即为旋转矩阵。
BAR=(X^BY^BZ^B)=(r11r12r13r21r22r23r31r32r33)^A_BR = \left( \begin{matrix} \widehat X_B & \widehat Y_B & \widehat Z_B \end{matrix}\right) =\left(\begin{matrix} r_{11} & r_{12} & r_{13}\\ r_{21} & r_{22} & r_{23}\\ r_{31} & r_{32} & r_{33}\\ \end{matrix}\right)BAR=(XBYBZB)=⎝⎛r11r21r31r12r22r32r13r23r33⎠⎞

其中rijr_{ij}rij可用每个矢量在参考坐标系中轴线方向上的投影分量来表示。于是BAR^A_BRBAR中各分量可用一堆单位矢量的点积来表示：
BAR=(AX^BAY^BAZ^B)=(X^B∙X^AY^B∙X^AZ^B∙X^AX^B∙Y^AY^B∙Y^AZ^B∙Y^AX^B∙Z^AY^B∙Z^AZ^B∙Z^A)^A_BR = \left(\begin{matrix} ^A\widehat X_B & ^A\widehat Y_B & ^A\widehat Z_B \end{matrix}\right) =\left(\begin{matrix} {\widehat X_B} \bullet {\widehat X_A} & {\widehat Y_B} \bullet {\widehat X_A} & {\widehat Z_B} \bullet {\widehat X_A}\\ {\widehat X_B} \bullet {\widehat Y_A} & {\widehat Y_B} \bullet {\widehat Y_A} & {\widehat Z_B} \bullet {\widehat Y_A}\\ {\widehat X_B} \bullet {\widehat Z_A} & {\widehat Y_B} \bullet {\widehat Z_A} & {\widehat Z_B} \bullet {\widehat Z_A}\\ \end{matrix}\right)BAR=(AXBAYBAZB)=⎝⎛XB∙XAXB∙YAXB∙ZAYB∙XAYB∙YAYB∙ZAZB∙XAZB∙YAZB∙ZA⎠⎞

上式中点积形式表示中无左上标，意味着可以选择任何坐标系下的表示。
点积可以得到夹角余弦，所以旋转矩阵中各分量常被称作方向余弦。
进一步观察，看出矩阵行是{A}中单位矢量在{B}中的表达，即：

BAR=(AX^BAY^BAZ^B)=(BX^ATBY^ATBZ^AT)^A_BR = \left(\begin{matrix} ^A\widehat X_B & ^A\widehat Y_B & ^A\widehat Z_B\\ \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} ^B\widehat X_A^T \\ ^B\widehat Y_A^T \\ ^B\widehat Z_A^T\\ \end{matrix}\right)BAR=(AXBAYBAZB)=⎝⎛BXATBYATBZAT⎠⎞

因此，ABR^B_ARABR为坐标系{A}对{B}的描述，可用{B}相对于{A}的描述的旋转矩阵的转置来得到，即：

BAR=ABRT^A_BR = ^B_AR^TBAR=ABRT

上式表明旋转矩阵的逆矩阵等于其转置。简单证明如下：

BART∙BAR=(AX^BTAY^BTAZ^BT)(AX^BAY^BAZ^B)=I3^A_BR^T \bullet ^A_BR = \left(\begin{matrix} ^A\widehat X_B^T \\ ^A\widehat Y_B^T \\ ^A\widehat Z_B^T\\ \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} ^A\widehat X_B & ^A\widehat Y_B & ^A\widehat Z_B\\ \end{matrix}\right) = I_3BART∙BAR=⎝⎛AXBTAYBTAZBT⎠⎞(AXBAYBAZB)=I3

其中，I3I_3I3是3x3的单位矩阵。因此BAR=ABR−1=ABRT^A_BR = ^B_AR^{-1} = ^B_AR^TBAR=ABR−1=ABRT。实际上，由线性代数知识，正交矩阵的逆必然等于它的转置。

位姿描述： 一般选取连体坐标系原点来描述位置。
四个矢量一组描述了位置和姿态信息（三个姿态，一个位置）。

{B}={BAR,APBORG}\{B\} = \{^A_BR, ^AP_{BORG}\}{B}={BAR,APBORG}

位姿可用任意两个坐标系的相对关系来描述。当旋转矩阵为单位矩阵时，为平移；当位置矢量是零矢量时，为纯旋转。

2.3 映射：从一个坐标系到另一个坐标系的变换

在不同坐标系中表达同一个量，即为映射。

串联机械臂的关节数一般等于自由度数。

坐标平移： 已知BP^BPBP，而且{B}与{A}的关系为平移，APBORG^AP_{BORG}APBORG表示{B}中原点在{A}中的位置。那么P点在{A}中的位置可以表述为AP=BP+APBORG^AP = ^BP + ^AP_{BORG}AP=BP+APBORG。只有上述简单平移可以相加，需强调的是P点本身并没有任何变化，只是它的描述改变了。这样，就可以说APBORG^AP_{BORG}APBORG定义了一个映射，因为它包含了变换所需的信息。

坐标旋转： BAR^A_BRBAR的各列是{B}的单位矢量在{A}中的描述；各行是{A}的单位矢量在{B}中的描述。即：

如果只有纯旋转，为了计算AP^APAP，各分量可用预期单位矢量的点积来计算。即：

Apx=BX^A∙BPApy=BY^A∙BPApz=BZ^A∙BP\begin{gathered} ^Ap_x = {^B\widehat X_A} \bullet {^BP} \\ ^Ap_y = ^B\widehat Y_A \bullet ^BP \\ ^Ap_z = ^B\widehat Z_A \bullet ^BP \end{gathered}Apx=BXA∙BPApy=BYA∙BPApz=BZA∙BP

上式可用旋转矩阵简化为A=BAR∙BP^A = {^A_BR}\bullet{^BP}A=BAR∙BP。此处注意角标的消去规则，前一个的左下标与后一个的左上标相同时消掉。

一般变换： 既有平移，又有旋转。平移：APBORG^AP_{BORG}APBORG；旋转：BAR^A_BRBAR。此时，P在{B}中的描述为BP^BPBP，求AP^APAP。

借助一个中间坐标系，与{A}姿态相同，原点与{B}重合，则先旋转再平移即可得到：
AP=BARBP+APBORG^AP = ^A_BR^BP + ^AP_{BORG}AP=BARBP+APBORG
上式转换成矩阵算子的形式，表达更为简洁：AP=BATBP^AP = ^A_BT^BPAP=BATBP，即：
(AP1)=(BARAPBORG0001)\left(\begin{matrix}^AP\\1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} {}&{{}_B^AR}&{}&^AP_{BORG}\\ 0&0&0&1\\ \end{matrix}\right)(AP1)=(0BAR00APBORG1)

这里借用了4x4的算子形式，并将位置矢量增广成4x1，4x4的算子中增加了一行（0 0 0 1）。这个4x4的矩阵被称为齐次变换矩阵。用一个简单的形式同时表达了旋转和平移。

旋转矩阵定义姿态，二变换矩阵顶一个坐标系。坐标系{B}相对于坐标系{A}的描述为BAT^A_BTBAT。

2.4 算子：平行，旋转和变换

算子：用于坐标系间点的映射的通用数学表达式。包括点的平移算子、矢量旋转算子，以及平移加旋转的算子。

平移算子： 矢量AP1^AP_1AP1通过矢量AQ^AQAQ进行平移，得到AP2^AP_2AP2，则AP2=AP1+AQ^AP_2=^AP_1+^AQAP2=AP1+AQ。用矩阵算子的形式进行表达：AP2+DQ(q)AP1^AP_2+D_{Q(q)}^AP_1AP2+DQ(q)AP1。其中：

DQ(q)=(100qx010qy001qz0001)D_{Q(q)}=\left(\begin{matrix} 1&0&0&q_x\\ 0&1&0&q_y\\ 0&0&1&q_z\\ 0&0&0&1\\ \end{matrix}\right)DQ(q)=⎝⎜⎜⎛100001000010qxqyqz1⎠⎟⎟⎞

qqq是沿着矢量Q^\widehat QQ方向平移的数量。qx,qy,qzq_x, q_y, q_zqx,qy,qz是平移矢量的分量。q=qx2+Qy2+qz2q=\sqrt{q_x^2+Q_y^2+q_z^2}q=qx2+Qy2+qz2。矢量平移与坐标变换之间可能存在一个符号差异。

旋转算子： AP1^AP_1AP1用旋转矩阵RRR变换成了aP2^aP_2aP2，则有AP2=R∙AP1^AP_2=R\bullet{^AP_1}AP2=R∙AP1。同样以矩阵算子形式进行表达：AP2=RK(θ)AP1^AP_2=R_{K(\theta)}{^AP_1}AP2=RK(θ)AP1，意味着绕K^\hat KK^轴旋转了θ\thetaθ角。且当绕ZZZ轴旋转时，有：

RZ(θ)=(cos⁡θ−sin⁡θ00sin⁡θcos⁡θ0000100001)R_{Z(\theta)}=\left(\begin{matrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0 &0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{matrix}\right)RZ(θ)=⎝⎜⎜⎛cosθsinθ00−sinθcosθ0000100001⎠⎟⎟⎞

**变换算子：**将平移和旋转归一化后，则变换算子TTT将AP1^AP_1AP1平移加旋转得到AP2^AP_2AP2，则：
AP2=T∙AP1^AP_2=T\bullet {^AP_1}AP2=T∙AP1

2.5 总结和说明

齐次变换矩阵的三种解释：

位姿的描述，表示相对于{A}的{B}的描述，BAR^A_BRBAR的各列是{B}中三轴的单位矢量，APBORG^AP_{BORG}APBORG是{B}的元原点。
是变换映射，BAT^A_BTBAT是映射，将统一点P从BP^BPBP映射到AP^APAP。
是变换算子，T是将AP1^AP_1AP1变换为AP2^AP_2AP2。

2.6 变换的计算

主要指的是变换的乘法和变换的逆运算。

复合变换：
BP=CBT∙CP^BP=^B_CT\bullet{^CP}BP=CBT∙CP，AP=BAT∙BP^AP=^A_BT\bullet{^BP}AP=BAT∙BP，则AP=BAT∙CBT∙CP^AP=^A_BT\bullet ^B_CT \bullet ^CPAP=BAT∙CBT∙CP。即：

CAT=BAT∙CBT=(BARCBRBARBPCORG+APBORG0001)^A_CT=^A_BT \bullet ^B_CT=\left(\begin{matrix} {} & ^A_BR^B_CR & {} & ^A_BR^BP_{CORG}+^AP_{BORG}\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{matrix}\right)CAT=BAT∙CBT=(0BARCBR00BARBPCORG+APBORG1)

逆变换： 已知{B}相对于{A}的变换为BAT^A_BTBAT，求{A}相对于{B}的变换ABT^B_ATABT。

利用旋转矩阵的性质ABR=BART^B_AR=^A_BR^TABR=BART

APBORG^AP_{BORG}APBORG在{B}中的描述为：

B(APBORG)=ABR∙APBORG+BPAORG^B(^AP_{BORG})=^B_AR \bullet ^AP_{BORG}+^BP_{AORG}B(APBORG)=ABR∙APBORG+BPAORG

由于上式即是{B}的原点在{B}中的描述，即应为零，所以：

BPAORG=−ABR∙APBORG^BP_{AORG}=-^B_AR \bullet ^AP_{BORG}BPAORG=−ABR∙APBORG

即可将ABT^B_ATABT写成：

ABT=(BART−ABR∙APBORG0001)^B_AT=\left(\begin{matrix} {} & ^A_BR^T & {} & -^B_AR \bullet ^AP_{BORG}\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{matrix}\right)ABT=(0BART00−ABR∙APBORG1)

2.7 变换方程

可通过等式两边左/右乘逆矩阵的方法进行各种求解。

2.8 其他姿态描述方法

旋转矩阵是各列正交的单位矩阵，其行列式的值为1，即标准正交矩阵。
任何3x3旋转矩阵都可用3各参数来确定，即旋转矩阵中的9个分量并不是完全独立的。
旋转不满足交换律，即旋转的次序不同，则结果不同。
其他常用描述方法有：
X-Y-Z固定角： 绕固定的参考坐标系的轴依次旋转。
Z-Y-X欧拉角： 绕运动坐标系的各轴依次旋转。
Z-Y-Z欧拉角： 与上一个方法类似。
等效角度-轴线表示法： 绕K轴旋转一定角度，RK(θ)R_{K(\theta)}RK(θ)表示。
欧拉参数法： 以4个数值来表达姿态。

2.9 自由矢量的变换

矢量相等：有相同的维数、大小和方向。
矢量等效：在某一功能上产生了相同的效果。

线矢量：与作用线有关的矢量。
自由矢量：可能出现在空间任意位置的矢量。

2.10 计算问题

利用一些性质可减少计算次数。

[1]: John J. Craig, 贠超. 机器人学导论[M]. 机械工业出版社, 2006.

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