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《Real-Time Rendering》第四版学习笔记——Chapter 9 Physically Based Shading（一）
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十、布料的BRDF

由于纤维的类型特点，会有高度重复的编织微结构，和垂直于表面伸出的线头。所以需要特殊的着色模型，如各向异性的高光、粗糙的散射、随视角变化的颜色变动。

大部分纤维有高频的空间变化。

布料的BRDF模型有三大类：通过观察的经验模型、基于微表面理论的模型、微柱体（micro-cylinder）模型。

10.1 经验布料模型

游戏《Uncharted 2》模型：
f d i f f ( l , v ) = ρ s s π ( k r i m ( ( v ⋅ n ) + ) α r i m + k i n n e r ( 1 − ( v ⋅ n ) + ) α i n n e r + k d i f f ) f_{\mathrm{diff}}(\mathbf l,\mathbf v)=\cfrac{\rho_{\mathrm{ss}}}{\pi}\left(k_{\mathrm{rim}}\left((\mathbf v\cdot\mathbf n)^+\right)^{\alpha_{\mathrm{rim}}}+k_{\mathrm{inner}}\left(1-(\mathbf v\cdot\mathbf n)^+\right)^{\alpha_{\mathrm{inner}}}+k_{\mathrm{diff}}\right) fdiff(l,v)=πρss(krim((v⋅n)+)αrim+kinner(1−(v⋅n)+)αinner+kdiff)
其中 k r i m , k i n n e r , k d i f f k_{\mathrm{rim}},\ k_{\mathrm{inner}},\ k_{\mathrm{diff}} krim, kinner, kdiff是用户控制的标量，分别用来控制轮廓光项、照亮前向（内部）表面的项、朗伯项； α r i m , α i n n e r \alpha_{\mathrm{rim}},\ \alpha_{\mathrm{inner}} αrim, αinner用于控制轮廓、内部项的衰减；

《Uncharted 4》根据布料类型，使用微表面或微柱体模型来计算高光项，使用“包围光（wrap lighting）”经验次表面散射近似来计算漫反射项目：
f d i f f ( l , v ) ( n ⋅ l ) + ⇒ ρ s s π ( c s c a t t e r + ( n ⋅ l ) + ) ∓ ( n ⋅ l + w ) ∓ 1 + w f_{\mathrm{diff}}(\mathbf l,\mathbf v)(\mathbf n\cdot\mathbf l)^+\Rightarrow\cfrac{\rho_{\mathrm{ss}}}{\pi}\left(\mathbf c_{\mathrm{scatter}}+(\mathbf n\cdot\mathbf l)^+\right)^{\mp}\cfrac{(\mathbf n\cdot\mathbf l+w)^{\mp}}{1+w} fdiff(l,v)(n⋅l)+⇒πρss(cscatter+(n⋅l)+)∓1+w(n⋅l+w)∓
在BRDF中，使用箭头右侧代替左侧， c s c a t t e r \mathbf c_{\mathrm{scatter}} cscatter是用户定义的散射颜色， w w w是取值范围 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]的参数，用于控制包围光的宽度。

Disney加入一个光泽项到漫反射BRDF项，来模拟粗糙散射：
f s h e e n ( l , v ) = k s h e e n c s h e e n ( 1 − ( h ⋅ l ) + ) 5 f_{\mathrm{sheen}}(\mathbf l,\mathbf v)=k_{\mathrm{sheen}}\mathbf c_{\mathrm{sheen}}\left(1-(\mathbf h\cdot\mathbf l)^+\right)^5 fsheen(l,v)=ksheencsheen(1−(h⋅l)+)5

10.2 微表面布料模型

游戏《The Order: 1886》使用的天鹅绒NDF：
D ( m ) = χ + ( n ⋅ m ) π ( 1 + k a m p α 2 ) ( 1 + k a m p exp ⁡ ( ( n ⋅ m ) 2 α 2 ( ( n ⋅ m ) 2 − 1 ) ) ( 1 − ( n ⋅ m ) 2 ) 2 ) D(\mathbf m)=\cfrac{\chi^+(\mathbf n\cdot\mathbf m)}{\pi(1+k_{\mathrm{amp}}\alpha^2)}\left(1+\cfrac{k_{\mathrm{amp}}\exp\left(\frac{(\mathbf n\cdot\mathbf m)^2}{\alpha^2\left((\mathbf n\cdot\mathbf m)^2-1\right)}\right)}{\left(1-(\mathbf n\cdot\mathbf m)^2\right)^2}\right) D(m)=π(1+kampα2)χ+(n⋅m)⎝⎛1+(1−(n⋅m)2)2kampexp(α2((n⋅m)2−1)(n⋅m)2)⎠⎞
其中， α \alpha α控制逆高斯的宽度， k a m p k_{\mathrm{amp}} kamp控制其振幅；其完整的布料BRDF为：
f ( l , v ) = ( 1 − F ( h , l ) ) ρ s s π + F ( h , l ) D ( h ) 4 ( n ⋅ l + n ⋅ v − ( n ⋅ l ) ( n ⋅ v ) ) f(\mathbf l,\mathbf v)=\left(1-F(\mathbf h,\mathbf l)\right)\cfrac{\rho_{\mathrm{ss}}}{\pi}+\cfrac{F(\mathbf h,\mathbf l)D(\mathbf h)}{4\left(\mathbf n\cdot\mathbf l+\mathbf n\cdot\mathbf v-(\mathbf n\cdot\mathbf l)(\mathbf n\cdot\mathbf v)\right)} f(l,v)=(1−F(h,l))πρss+4(n⋅l+n⋅v−(n⋅l)(n⋅v))F(h,l)D(h)
游戏《Uncharted 4》使用上述BRDF变种，来对粗糙纤维进行建模，如羊毛、棉等。

Imageworks使用另一种逆高斯NDF，来计算光泽项，并可以加入到任意到BRDF：
D ( m ) = χ + ( n ⋅ m ) ( 2 + 1 α ) ( 1 − ( n ⋅ m ) 2 ) 1 2 α 2 π D(\mathbf m)=\cfrac{\chi^+(\mathbf n\cdot\mathbf m)(2+\frac{1}{\alpha})\left(1-(\mathbf n\cdot\mathbf m)^2\right)^{\frac{1}{2\alpha}}}{2\pi} D(m)=2πχ+(n⋅m)(2+α1)(1−(n⋅m)2)2α1

10.3 微柱体布料模型

布料的微柱体模型与用于毛发的非常相似。背后的理念是表面上覆盖一维的线。

十一、BRDF模型的波动光学

几何光学主要处理的是微几何情况，即不规则度尺寸大于100倍的光波长，但是单独渲染又太小；而波动光学则是处理纳米几何（nanogeometry）。纳米几何情况下的反射，由于波的性质，无法使用几何光学建模；光的波特性影响和波动光学（wave optics，又叫做物理光学，physical optics）来建模。

层厚度接近光波长的表面同样会产生光的波特性相关的光学现象。

11.1 衍射模型

纳米几何会产生衍射（diffraction）现象。惠更斯-菲涅尔原理（Huygens-Fresnel principle）指出，所有波阵面上的点，都是新的球面波的源。当光遇到障碍物时，在拐角处会产生轻微的弯曲。在表面的球面波连成一条线，就产生了反射波阵面，其他方向则因为负向干涉而被消除。当表面的不规则度尺寸在纳米尺度时，球形波的波正面连线就不再平整。

光会被散射到不同方向，其中部分指向高光反射方向；其余衍射出的光的方向样式则基于纳米几何的特性，即纳米几何的凸块高度，或者更精确的说是高度分布的方差。衍射光的分布角度基于纳米几何相对于光波长的宽度。越宽的不规则度，导致越小的分布。

衍射现象在周期性变化的纳米几何表面可以清晰的可见。

11.2 薄膜干涉模型

薄膜干涉现象发生在光在薄膜介电质上下表面分别反射，并互相干涉的情况。

由于波长和路径长度之间的关系，不同波长的光会产生正向干涉或负向干涉。这会导致随着入射角变化，会产生颜色变化。

之所以薄膜需要很薄才会发生这个现象，是因为这与相干长度（coherence length）的概念相关。这个长度是光副本仍然能与原光进行干涉的最大距离。这个长度与光的带宽（bandwidth）成反比。

理论上来讲，白光是混合了所有波长的光，其相干长度为0。但实际上，可见光的波长是有范围的，且相干长度约为1微米

十二、层状材质

在现实世界中，材质通常会铺在另一层物质之上。透明漆（clear coat）是最简单也最常见的层材质，是在不同基底材质之上覆盖的一层光滑透明层。

透明漆层最明显的视觉效果就是双反射，即分别从透明漆和基底表面反射出光。

透明漆层也可以改变色调。色调改变是光线吸收的结果；而光吸收量与路径长度有关，路径长度又与光线角度、视角以及折射率相关。

通常情况下，不同的层有不同的表面法线。但在实时渲染中，很少会对各层设置单独的法线。

十三、材质混合和过滤

材质混合（material blending）是将不同材质的BRDF参数合并的过程。

材质混合可以通过预处理来创建一个新的纹理，这个过程通常称为“烘焙（baking）”；或者也可以着色器中快速执行。因为表面法线 n \mathbf n n在技术上不是BRDF的参数，然而对于外观来说，空间变化是很重要的因素，所以材质混合一般也会包含法线贴图混合。

混合纹理元素可以在节省内存的情况下，得到不同的效果集。游戏中使用材质混合的目的：

显示建筑、车辆、生物等的动态损毁；
使用户可以自定义设置游戏装备、服装等；
提高角色和环境等视觉效果；

上层材质不透明度小于 100 % 100\% 100%或部分覆盖像素的边缘位置，这两种情况的严格正确的方法是，对不同材质分别着色，然后将结果混合成最终结果。但是，混合BRDF参数，然后一次性着色，这样会更快。

法线贴图混合需要特别处理：从法线贴图推导出高度贴图，然后对高度贴图进行混合，这样通常可以得到正确的结果。

材质属性通常存储在纹理中；而GPU会对纹理进行过滤。这些过滤是基于过滤值与最终颜色有线性关系这个假设。对于存在非线形关系的参数纹理，或者法线贴图，如果采用线性mipmap方法，就会产生错误。

13.1 法线过滤和法线分布

NDF是亚像素表面结构上的统计学描述。从多像素到亚像素的变化，与mipmap有紧密的关系。

外观的建模需要假设一个确定的观察尺度。宏观尺度（ macroscale）几何通过三角形建模；中尺度（mesoscale）使用纹理；微观尺度（microscale）采用BRDF。

在给定观察尺度的情况下，法线贴图中的纹素，加上粗糙度，可以视作是该纹素覆盖的表面区域的法线分布。假设此时扩大了观测尺度，那么多个纹素可能合并成一个纹素；此时最精确的表示方式应该是对法线分布函数做平均，但是对于法线贴图来说，是无法做到的。

如果将法线和粗糙度分别独立的做平均，那么平均法线是正确的，但是其分布会变窄；这就导致了视觉效果上过于光滑，严重的情况下甚至会产生闪烁高光。

为了获取最佳结果，过滤操作（如mipmapping）应该应用于法线分布函数，而不是法线和粗糙度值。一般情况下，NDF是在局部切线空间中，通过法线贴图逐像素法线定义的。但是将法线贴图和粗糙度贴图的结合，看作是定义在潜在几何表面的切线空间的一个倾斜的NDF，这样更合适。

早期解决NDF过滤问题，采用的是树枝优化方法，来将NDF波瓣贴合到经过平均的分布。这个方法的健壮性和速度都存在问题，所以现在基本不用。很多方法通过计算平均分布的方差来代替。

Toksvig将NDF的粗糙度参数修改为基于法线长度。通过使用修改的粗糙度来计算BRDF，近似过滤法线的扩散效应。其原本的公式是用于Blinn-Phong NDF： α p ′ = ∥ n ‾ ∥ α p ∥ n ‾ ∥ + α p ( 1 − ∥ n ‾ ∥ ) \alpha_{p}^{\prime}=\cfrac{\|\overline{\mathbf n}\|\alpha_p}{\|\overline{\mathbf n}\|+\alpha_p(1-\|\overline{\mathbf n}\|)} αp′=∥n∥+αp(1−∥n∥)∥n∥αp，其中 α p \alpha_p αp是原本的粗糙度参数， α p ′ \alpha_p^{\prime} αp′是修改后的值， ∥ n ‾ ∥ \|\overline{\mathbf n}\| ∥n∥是平均法线的长度。可以通过 α p = 2 α b − 2 − 2 \alpha_p=2\alpha_b^{-2}-2 αp=2αb−2−2将上述公式应用于Beckmann NDF。在GGX分布中使用没有这么直接，因为GGX和Blinn-Phong没有明确的线性关系。在实际应用中，与Beckmann NDF使用方式相同。

Toksvig方法的优点是考虑了GPU纹理过滤引入的法线方差；在mipmap机制中使用简单。缺点是纹理压缩不能很好执行；会导致精度问题。

LEAN映射技术基于对法线分布的协方差矩阵进行映射。在Toksvig方法优点的基础上，还有支持各向异性法线分布的优点。

在实时渲染中，大部分法线贴图是静态的。对于这样的贴图，通常使用方差映射（variance mapping）方法。该方法会对顶层mip使用小滤波器进行卷积，以避免mipmap产生的方差。

法线方差也可能由高曲率的几何体的法线贴图引入。如果在几何体表面使用单一的纹理贴图，那么几何体曲率可以通过“烘焙”计算入粗糙度贴图。

方差映射将法线分布近似为光滑高斯分布的波瓣。

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