参考：https://www.cnblogs.com/fengzzi/p/10044426.html

指数模型是用来预测时序未来值的最常用模型。这类模型相对比较简单，但是实践证明它们的短期预测能力较好。不同指数模型建模时选用的因子可能不同。比如

单指数模型（simple/single exponential model）拟合的是只有常数水平项和时间点i处随机项的时间序列，这时认为时间序列不存在趋势项和季节效应；
双指数模型（double exponential model；也叫Holt指数平滑，Holt exponential smoothing）拟合的是有水平项和趋势项的时序；
三指数模型（triple exponential model；也叫Holt-Winters指数平滑，Holt-Winters exponential smoothing）拟合的是有水平项、趋势项以及季节效应的时序。

R中自带的HoltWinters()函数或者forecast包中的ets()函数可以拟合指数模型。ets()函数的备选参数更多，因此更实用。

1. HoltWinters()函数

R语言与数据分析之七：时间序列简单指数平滑

R语言与数据分析之八：时间序列--霍尔特指数平滑法

R语言与数据分析之九：时间内序列--HoltWinters指数平滑法

2. forecast包中的ets()函数

平滑参数（α,β,γ）=（水平，趋势，季节）

2.1 最简单参数

ets(ts, model="zzz")

model="ZZZ"，依次含义为错误类型、趋势类型、季节类型。 "A"=additive, "M"=multiplicative and "Z"=automatically

其中ts是要分析的时序，限定模型的字母有三个。第一个字母代表误差项，第二个字母代表趋势项，第三个字母则代表季节项。可选的字母包括：相加模型(A)、相乘模型(M)、无(N)、自动选择(Z)。

"A"=additive, "M"=multiplicative and "Z"=automatically

2.2 所有参数

ets(y, model="ZZZ", damped=NULL, alpha=NULL, beta=NULL, gamma=NULL, phi=NULL, additive.only=FALSE, lambda=NULL, lower=c(rep(0.0001,3), 0.8), upper=c(rep(0.9999,3),0.98), opt.crit=c("lik","amse","mse","sigma","mae"), nmse=3, bounds=c("both","usual","admissible"), ic=c("aic","aicc","bic"),restrict=TRUE)

y：一个数值向量或时间系列

model="ZZZ"：依次含义为错误类型、趋势类型、季节类型。 "A"=additive, "M"=multiplicative and "Z"=automatically

（additive，为加法；multiplicative，乘法；damped，阻尼；Null，无）

damped=NULL，一个的阻尼趋势

lower=c(rep(0.0001,3), 0.8), upper=c(rep(0.9999,3),0.98), 参数（α，β，γ，φ）的上下界

opt.crit=c("lik","amse","mse","sigma","mae")：优化标准， “MSE”（均方误差），“AMSE”（(Average MSE over first nmse forecast horizons），“sigma”（标准偏差残差），“mae”（残差绝对值的平均值），或“lik”（对数似然，默认值）

nmse=3, 平均多级MSE（1 <=nmse<= 10）的步数。

bounds=c("both","usual","admissible")：收敛参数空间类型，"usual" 表示所有参数都必须指定上限和下限之间，“"admissible"表示参数必须位于允许的空间，”"both"（默认）的交叉点这些区域。

ic=c("aic","aicc","bic")：在模型选择要使用的信息准则。

restrict=TRUE：如果是TRUE，无限方差模型将不会被允许

3. 预测准确性度量

平均误差和平均百分比误差：一般来说，平均误差和平均百分比误差用处不大，因为正向和负向的误差会抵消掉。
RMSE：给出了平均误差平方和的平方根，本例中即1.13°F。
平均绝对百分误差：给出了误差在真实值中的占比，它没有单位，因此可以用于比较不同时序间的预测准确性；但它同时假定测量尺度中存在一个真实为零的点（比如每天的游客数量），但华氏温度中并没有一个真实为零（即不存在分子运动动能）的点，因此这里不能用这个统计量。
平均绝对标准化误差：是最新的一种准确度测量，通常用于比较不同尺度的时序间的预测准确性。这几种预测准确性度量中，并不存在某种最优度量，不过RMSE相对最有名、最常用。

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