一次、二次、三次指数平滑计算思想及代码

概述

一般常用到的指数平滑法为一次指数平滑、二次指数平滑和三次指数平滑，高次指数平滑一般比较难见到，因此本文着重介绍了一次、二次和三次指数平滑的特点与不同。

一次指数平滑一般应用于直线型数据，且一次指数平滑具有滞后性，可以说明有明显的时间性、季节性。

二次指数平滑一般也应用于直线型，但是效果会比一次指数平滑好很多，也就相当于加强版的一次指数平滑。

三次指数平滑可以应用于抛物线型的数据，因为数据在二次平滑过后还是具有斜率，那么可以继续使用三次指数平滑。

初值：不管什么指数平滑都会有个初值，假如数据大于20项，那么初值就可以认定为第一个数据，或者利用下列公式计算也行；假如数据小于20项，则初始值为：

低于20项一般取3，大于20的看着取就行了。

一次指数平滑：

一次指数平滑需要滞后一期，给定平滑系数，那么一次指数平滑的计算公式为：

预测第期的数值则是上一期的实际值与预测值的加权平均，预测公式为：

二次指数平滑：

给定平滑系数，那么二次指数平滑的计算公式为：

预测未来期的值的计算公式为：

其中：

三次指数平滑：

给定平滑系数，那么三次指数平滑的计算公式为：

预测未来期的值的计算公式为：

其中：

下面举例说明，数据如下：

引入均方误差概念来判断平滑系数是否准确：

要使最小则构成了一个关于的函数，由此可以得到最优的平滑系数，这里可以引入线性规划的思想来求得最优解

但是：

python没有线性规划的包，所以就没有细致的代码写出来了，不过经过手动计算尝试这样子是可行的

python代码

一次指数平滑

在python3下编程，一次指数平滑代码为：

S1_1 = []for m in range(0, len(info_data_id)):S1_1_empty = []x = 0for n in range(0, 3):x = x + int(info_data_sales[m][n])x = x / 3S1_1_empty.append(x)S1_1.append(S1_1_empty)# print(S1_1)a = []  ##这是用来存放阿尔法的数组info_MSE = []  ##计算均方误差来得到最优的a(阿尔法)for i in range(0, len(info_data_sales)):v = input('请输入第' + str(i + 1) + '组数据的a：')a.append(v)for i in range(0, len(info_data_sales)):MSE = 0for j in range(0, len(info_data_sales[i])):S1_1[i].append(float(a[i]) * int(info_data_sales[i][j]) + (1 - float(a[i])) * int(S1_1[i][j]))  ##计算预估值MSE = (int(S1_1[i][j]) - int(info_data_sales[i][j])) ** 2 + MSE# print(info_data_sales[i][j], S1_1[i][j])MSE = (MSE ** (1 / 2)) / int(len(info_data_sales[i]))  ##得到均方误差info_MSE.append(MSE)# print(info_MSE)# print(S1_1)for i in range(0, len(S1_1)):print('第' + str(i + 1) + '组的一次平滑预估值为:' + str(S1_1[i][len(S1_1[i]) - 1]) + '；均方误差为：' + str(info_MSE[i]))

二次指数平滑代码

S2_1 = []S2_2 = []for m in range(0, len(info_data_id)):S2_1_empty = []x = 0for n in range(0, 3):x = x + float(info_data_sales[m][n])x = x / 3S2_1_empty.append(x)S2_1.append(S2_1_empty)S2_2.append(S2_1_empty)# print(S2_2)a = []  ##这是用来存放阿尔法的数组info_MSE = []  ##计算均方误差来得到最优的a(阿尔法)for i in range(0, len(info_data_sales)):v = float(input('请输入第' + str(i + 1) + '组数据的a：'))a.append(v)##下面是计算一次指数平滑的值S2_1_new1 = []for i in range(0, len(info_data_sales)):S2_1_new = [[]] * len(info_data_id)for j in range(0, len(info_data_sales[i])):if j == 0:S2_1_new[i].append(float(a[i]) * float(info_data_sales[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(S2_1[i][j]))else:S2_1_new[i].append(float(a[i]) * float(info_data_sales[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(S2_1_new[i][j - 1]))  ##计算一次指数的值S2_1_new1.append(S2_1_new[i])# print(S2_1_new1)# print(len(S2_1_new1[i]))##下面是计算二次指数平滑的值S2_2_new1 = []info_MSE = []  ##计算均方误差来得到最优的a(阿尔法)for i in range(0, len(info_data_sales)):S2_2_new = [[]] * len(info_data_id)MSE = 0for j in range(0, len(info_data_sales[i])):if j == 0:S2_2_new[i].append(float(a[i]) * float(S2_1_new1[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(S2_2[i][j]))else:S2_2_new[i].append(float(a[i]) * float(S2_1_new1[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(S2_2_new[i][j - 1]))  ##计算二次指数的值MSE = (int(S2_2_new[i][j]) - int(info_data_sales[i][j])) ** 2 + MSEMSE = (MSE ** (1 / 2)) / int(len(info_data_sales[i]))info_MSE.append(MSE)S2_2_new1.append(S2_2_new[i])# print(S2_2_new1)# print(len(S2_2_new1[i]))##下面是计算At、Bt以及每个预估值Xt的值，直接计算预估值，不一一列举Xt的值了u = input('你要预估多少期？')Xt = []for i in range(0, len(info_data_sales)):At = (float(S2_1_new1[i][len(S2_1_new1[i]) - 1]) * 2 - float(S2_2_new1[i][len(S2_2_new1[i]) - 1]))Bt = (float(a[i]) / (1 - float(a[i])) * (float(S2_1_new1[i][len(S2_1_new1[i]) - 1]) - float(S2_2_new1[i][len(S2_2_new1[i]) - 1])))Xt.append(At + Bt * int(u))print('第' + str(i + 1) + '组的二次平滑预估值为:' + str(Xt[i]) + '；均方误差为：' + str(info_MSE[i]))

三次指数平滑

S3_1 = []S3_2 = []S3_3 = []for m in range(0, len(info_data_id)):S3_1_empty = []x = 0for n in range(0, 3):x = x + float(info_data_sales[m][n])x = x / 3S3_1_empty.append(x)S3_1.append(S3_1_empty)S3_2.append(S3_1_empty)S3_3.append(S3_1_empty)# print(S3_1)a = []  ##这是用来存放阿尔法的数组info_MSE = []  ##计算均方误差来得到最优的a(阿尔法)for i in range(0, len(info_data_sales)):v = float(input('请输入第' + str(i + 1) + '组数据的a：'))a.append(v)##下面是计算一次指数平滑的值S3_1_new1 = []for i in range(0, len(info_data_sales)):S3_1_new = [[]] * len(info_data_id)for j in range(0, len(info_data_sales[i])):if j == 0:S3_1_new[i].append(float(a[i]) * float(info_data_sales[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(S3_1[i][j]))else:S3_1_new[i].append(float(a[i]) * float(info_data_sales[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(S3_1_new[i][j - 1]))  ##计算一次指数的值S3_1_new1.append(S3_1_new[i])##下面是计算二次指数平滑的值S3_2_new1 = []info_MSE = []  ##计算均方误差来得到最优的a(阿尔法)for i in range(0, len(info_data_sales)):S3_2_new = [[]] * len(info_data_id)for j in range(0, len(info_data_sales[i])):if j == 0:S3_2_new[i].append(float(a[i]) * float(S3_1_new1[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(S3_2[i][j]))else:S3_2_new[i].append(float(a[i]) * float(S3_1_new1[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(S3_2_new[i][j - 1]))  ##计算二次指数的值S3_2_new1.append(S3_2_new[i])##下面是计算二次指数平滑的值S3_3_new1 = []info_MSE = []  ##计算均方误差来得到最优的a(阿尔法)for i in range(0, len(info_data_sales)):S3_3_new = [[]] * len(info_data_id)MSE = 0for j in range(0, len(info_data_sales[i])):if j == 0:S3_3_new[i].append(float(a[i]) * float(S3_2_new1[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(S3_3[i][j]))else:S3_3_new[i].append(float(a[i]) * float(S3_2_new1[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(S3_3_new[i][j - 1]))  ##计算三次指数的值MSE = (int(S3_3_new[i][j]) - int(info_data_sales[i][j])) ** 2 + MSEMSE = (MSE ** (1 / 2)) / int(len(info_data_sales[i]))info_MSE.append(MSE)S3_3_new1.append(S3_3_new[i])# print(S3_3_new1)##下面是计算At、Bt、Ct以及每个预估值Xt的值，直接计算预估值，不一一列举Xt的值了u = input('你要预估多少期？')Xt = []for i in range(0, len(info_data_sales)):At = (float(S3_1_new1[i][len(S3_1_new1[i]) - 1]) * 3 - float(S3_2_new1[i][len(S3_2_new1[i]) - 1]) * 3 + float(S3_3_new1[i][len(S3_3_new1[i]) - 1]))Bt = ((float(a[i]) / (2 * ((1 - float(a[i])) ** 2))) * ((6 - 5 * float(a[i])) * (float(S3_1_new1[i][len(S3_1_new1[i]) - 1]) - 2 * (5 - 4 * float(a[i])) * float(S3_2_new1[i][len(S3_2_new1[i]) - 1]) + (4 - 3 * float(a[i])) * float(S3_3_new1[i][len(S3_3_new1[i]) - 1]))))Ct = (((float(a[i])) ** 2) / (2 * ((1 - float(a[i])) ** 2))) * (float(S3_1_new1[i][len(S3_1_new1[i]) - 1]) - float(S3_2_new1[i][len(S3_2_new1[i]) - 1])*2 + float(S3_3_new1[i][len(S3_3_new1[i]) - 1]))Xt.append(At + Bt * int(u) + Ct * (int(u) ** 2))print('第' + str(i + 1) + '组的三次平滑预估值为:' + str(Xt[i]) + '；均方误差为：' + str(info_MSE[i]))

由于注释写得很清楚了，就不一段一段的解释了

明显看出数列为线性的数列，所以用二次指数平滑会更好

得到的二次平滑结果如下：

误差判断：

由此可见预测效果非常好

完整代码

 from openpyxl import load_workbook
import xlsxwriterif __name__ == '__main__':judge = input('请选择使用几次指数平滑：一次请按1；二次请按2；三次请按3：')##这里是打开excel将数据储存到数组里面wb = load_workbook(filename=r'C:\Users\Administrator\Desktop\data.xlsx')  ##读取路径ws = wb.get_sheet_by_name("Sheet1")  ##读取名字为Sheet1的sheet表info_data_id = []info_data_sales = []for row_A in range(1, 3):  ## 遍历第1行到2行id = ws.cell(row=row_A, column=1).value  ## 遍历第1行到2行，第1列info_data_id.append(id)for row_num_BtoU in range(1, len(info_data_id) + 1):  ## 遍历第1行到2行row_empty = []  ##建立一个空数组作为临时储存地，每次换行就被清空for i in range(2, 20):  ## 遍历第1行到2行，第1到19列data = ws.cell(row=row_num_BtoU, column=i).valueif data == None:passelse:row_empty.append(data)  ##将单元格信息储存进去info_data_sales.append(row_empty)  ##row_empty每次储存完1到19列后压给info_data_sales，然后row_empty被清空# print(info_data_id)# print(info_data_sales)if judge == '1':##############################下面是计算St(1)下面写为S1_t_######################################print('你选择了一次指数平滑预测')##一次指数平滑的初值为S1_1，用S1_1来储存每一组数据的一次平滑的数值S1_1 = []for m in range(0, len(info_data_id)):S1_1_empty = []x = 0for n in range(0, 3):x = x + int(info_data_sales[m][n])x = x / 3S1_1_empty.append(x)S1_1.append(S1_1_empty)# print(S1_1)a = []  ##这是用来存放阿尔法的数组info_MSE = []  ##计算均方误差来得到最优的a(阿尔法)for i in range(0, len(info_data_sales)):v = input('请输入第' + str(i + 1) + '组数据的a：')a.append(v)for i in range(0, len(info_data_sales)):MSE = 0for j in range(0, len(info_data_sales[i])):S1_1[i].append(float(a[i]) * int(info_data_sales[i][j]) + (1 - float(a[i])) * int(S1_1[i][j]))  ##计算预估值MSE = (int(S1_1[i][j]) - int(info_data_sales[i][j])) ** 2 + MSE# print(info_data_sales[i][j], S1_1[i][j])MSE = (MSE ** (1 / 2)) / int(len(info_data_sales[i]))  ##得到均方误差info_MSE.append(MSE)# print(info_MSE)# print(S1_1)for i in range(0, len(S1_1)):print('第' + str(i + 1) + '组的一次平滑预估值为:' + str(S1_1[i][len(S1_1[i]) - 1]) + '；均方误差为：' + str(info_MSE[i]))if judge == '2':##############################下面是计算St(2)下面写为S2_t_######################################print('你选择了二次指数平滑预测')##二次指数平滑的初值为S2_1，用S2_1_new来储存每一组数据的一次平滑的数值S2_1 = []S2_2 = []for m in range(0, len(info_data_id)):S2_1_empty = []x = 0for n in range(0, 3):x = x + float(info_data_sales[m][n])x = x / 3S2_1_empty.append(x)S2_1.append(S2_1_empty)S2_2.append(S2_1_empty)# print(S2_2)a = []  ##这是用来存放阿尔法的数组info_MSE = []  ##计算均方误差来得到最优的a(阿尔法)for i in range(0, len(info_data_sales)):v = float(input('请输入第' + str(i + 1) + '组数据的a：'))a.append(v)##下面是计算一次指数平滑的值S2_1_new1 = []for i in range(0, len(info_data_sales)):S2_1_new = [[]] * len(info_data_id)for j in range(0, len(info_data_sales[i])):if j == 0:S2_1_new[i].append(float(a[i]) * float(info_data_sales[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(S2_1[i][j]))else:S2_1_new[i].append(float(a[i]) * float(info_data_sales[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(S2_1_new[i][j - 1]))  ##计算一次指数的值S2_1_new1.append(S2_1_new[i])# print(S2_1_new1)# print(len(S2_1_new1[i]))##下面是计算二次指数平滑的值S2_2_new1 = []info_MSE = []  ##计算均方误差来得到最优的a(阿尔法)for i in range(0, len(info_data_sales)):S2_2_new = [[]] * len(info_data_id)MSE = 0for j in range(0, len(info_data_sales[i])):if j == 0:S2_2_new[i].append(float(a[i]) * float(S2_1_new1[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(S2_2[i][j]))else:S2_2_new[i].append(float(a[i]) * float(S2_1_new1[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(S2_2_new[i][j - 1]))  ##计算二次指数的值MSE = (int(S2_2_new[i][j]) - int(info_data_sales[i][j])) ** 2 + MSEMSE = (MSE ** (1 / 2)) / int(len(info_data_sales[i]))info_MSE.append(MSE)S2_2_new1.append(S2_2_new[i])# print(S2_2_new1)# print(len(S2_2_new1[i]))##下面是计算At、Bt以及每个预估值Xt的值，直接计算预估值，不一一列举Xt的值了u = input('你要预估多少期？')Xt = []for i in range(0, len(info_data_sales)):At = (float(S2_1_new1[i][len(S2_1_new1[i]) - 1]) * 2 - float(S2_2_new1[i][len(S2_2_new1[i]) - 1]))Bt = (float(a[i]) / (1 - float(a[i])) * (float(S2_1_new1[i][len(S2_1_new1[i]) - 1]) - float(S2_2_new1[i][len(S2_2_new1[i]) - 1])))Xt.append(At + Bt * int(u))print('第' + str(i + 1) + '组的二次平滑预估值为:' + str(Xt[i]) + '；均方误差为：' + str(info_MSE[i]))if judge == '3':##############################下面是计算St(3)下面写为S3_t_######################################print('你选择了三次指数平滑预测')S3_1 = []S3_2 = []S3_3 = []for m in range(0, len(info_data_id)):S3_1_empty = []x = 0for n in range(0, 3):x = x + float(info_data_sales[m][n])x = x / 3S3_1_empty.append(x)S3_1.append(S3_1_empty)S3_2.append(S3_1_empty)S3_3.append(S3_1_empty)# print(S3_1)a = []  ##这是用来存放阿尔法的数组info_MSE = []  ##计算均方误差来得到最优的a(阿尔法)for i in range(0, len(info_data_sales)):v = float(input('请输入第' + str(i + 1) + '组数据的a：'))a.append(v)##下面是计算一次指数平滑的值S3_1_new1 = []for i in range(0, len(info_data_sales)):S3_1_new = [[]] * len(info_data_id)for j in range(0, len(info_data_sales[i])):if j == 0:S3_1_new[i].append(float(a[i]) * float(info_data_sales[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(S3_1[i][j]))else:S3_1_new[i].append(float(a[i]) * float(info_data_sales[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(S3_1_new[i][j - 1]))  ##计算一次指数的值S3_1_new1.append(S3_1_new[i])##下面是计算二次指数平滑的值S3_2_new1 = []info_MSE = []  ##计算均方误差来得到最优的a(阿尔法)for i in range(0, len(info_data_sales)):S3_2_new = [[]] * len(info_data_id)for j in range(0, len(info_data_sales[i])):if j == 0:S3_2_new[i].append(float(a[i]) * float(S3_1_new1[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(S3_2[i][j]))else:S3_2_new[i].append(float(a[i]) * float(S3_1_new1[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(S3_2_new[i][j - 1]))  ##计算二次指数的值S3_2_new1.append(S3_2_new[i])##下面是计算二次指数平滑的值S3_3_new1 = []info_MSE = []  ##计算均方误差来得到最优的a(阿尔法)for i in range(0, len(info_data_sales)):S3_3_new = [[]] * len(info_data_id)MSE = 0for j in range(0, len(info_data_sales[i])):if j == 0:S3_3_new[i].append(float(a[i]) * float(S3_2_new1[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(S3_3[i][j]))else:S3_3_new[i].append(float(a[i]) * float(S3_2_new1[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(S3_3_new[i][j - 1]))  ##计算三次指数的值MSE = (int(S3_3_new[i][j]) - int(info_data_sales[i][j])) ** 2 + MSEMSE = (MSE ** (1 / 2)) / int(len(info_data_sales[i]))info_MSE.append(MSE)S3_3_new1.append(S3_3_new[i])# print(S3_3_new1)##下面是计算At、Bt、Ct以及每个预估值Xt的值，直接计算预估值，不一一列举Xt的值了u = input('你要预估多少期？')Xt = []for i in range(0, len(info_data_sales)):At = (float(S3_1_new1[i][len(S3_1_new1[i]) - 1]) * 3 - float(S3_2_new1[i][len(S3_2_new1[i]) - 1]) * 3 + float(S3_3_new1[i][len(S3_3_new1[i]) - 1]))Bt = ((float(a[i]) / (2 * ((1 - float(a[i])) ** 2))) * ((6 - 5 * float(a[i])) * (float(S3_1_new1[i][len(S3_1_new1[i]) - 1]) - 2 * (5 - 4 * float(a[i])) * float(S3_2_new1[i][len(S3_2_new1[i]) - 1]) + (4 - 3 * float(a[i])) * float(S3_3_new1[i][len(S3_3_new1[i]) - 1]))))Ct = (((float(a[i])) ** 2) / (2 * ((1 - float(a[i])) ** 2))) * (float(S3_1_new1[i][len(S3_1_new1[i]) - 1]) - float(S3_2_new1[i][len(S3_2_new1[i]) - 1])*2 + float(S3_3_new1[i][len(S3_3_new1[i]) - 1]))Xt.append(At + Bt * int(u) + Ct * (int(u) ** 2))print('第' + str(i + 1) + '组的三次平滑预估值为:' + str(Xt[i]) + '；均方误差为：' + str(info_MSE[i]))

以上，为本人从其他地方转来的，忘记了源地址，经本人验证，以上方法所预测的代码对很短时间内的预测有较强效果，但预测结果并没有R语言的预测结果，有可能是因为数据原因，在此不对原因进行深挖，最终使用python+R的方式进行了数据预测。以上代码对平滑预测法的算法会有些理解。