初等数论四大基本定理
以前说过的,这次带来……好吧,如题。先从自认为简单些的开始吧。
①威尔逊定理
这个定理是说,对于任意自然数q,当且仅当q是质数时,(q-1)!≡q-1(mod q);
那么,怎么证明咧?
首先,如果q不是质数,而且q大于4,那一定存在q=0(mod p),q=0(mod q/p) 1<p<q,那么(q-1)!=0(mod q)
然后,当q是质数时,我们可以构造集合A={1,2,3,4……n-1},对于集合中除1和n-1外的任意数x,集合中必定唯一存在y,使xy=1(mod q)(其实就是y是x的数论倒数),那集合中除1和n-1外的数都可两两配对,使最后的乘积为1(mod q),于是乎,再乘上1和n-1,得到(q-1)!=q-1(mod q);
还有问题,上面说的对于每个x,存在xy=1(mod q),又怎么证明咧?因为q是质数,x与q互质,构造集合{x,2x,3x……qx},所以该集合一定是对于模q的一个缩系(即任意两个数不对模q同余,从而模q后形成q的剩余系),又因为qx=0(mod q),所以一定唯一存在y(1<y<q),使xy=1(mod q)。
②中国剩余定理
听名字就蛮自豪的,这货是用来解同余方程的说;
首先,对于同余方程x=ai(mod mi)(1≤i≤n),且各个mi互质,我们定义M=m1Xm2Xm3……Xmn,以及qi=M/mi,设ti为qi对于模mi的数论倒数(前面说过的),那么x=a1*t1*q1+a2*t2*q2+……+an*tn*qn+kM(k为任意整数)。
先把等一下要用的东西写出来:
因为qi是任意mj(i≠j)的倍数,所以ai*ti*qi=0(mod mj);
好了,然后开证了:对于每个mi,x=a1*t1*q1+a2*t2*q2+……+an*tn*qn=ai*ti*qi+a1*t1*q1+a2*t2*q2+……+an*tn*qn;之后
对于模mi可得x=ai+0+0……+0=ai(mod mi),满足条件,然后再加个kM(这个可以理解吧),得证啦!
③费马小定理
注意,是小定理,不是费马大定理哦!它告诉我们假如p是质数,且gcd(a,p)=1(就是互质),那么a(p-1)≡1(mod p);
证明来了(略苦逼的说):
构造集合P={1,2……,p-1},由于p与a互质,那么对于另一个集合A={a,2a……a(p-1)},是p的一个缩系,这个前面说过,这里具体证明一下,如果存在ai=aj(mod p),那么ai-aj=a(i-j)=0(mod p),因为a与p互质,可得i-j=0(mod p)!,与题意不符!
然后1*2*3……*(p-1)=a*2a*3a……an(mod p),于是(p-1)!=(p-1)!*a(p-1) (mod p),因为(p-1)!与p互质,约去(p-1)!
得证:a(p-1)≡1(mod p)。
④欧拉定理
费马小定理事实上是欧拉定理的一种特殊情况,欧拉定理是说若p,a为正整数,且p,a互质,则aφ(p)≡1(mod p),证明我就不详述了, 用费马小定理的证明改一下就好了啦,就是这样!又偷懒了……
转载于:https://www.cnblogs.com/Enceladus/p/4979090.html
初等数论四大基本定理相关推荐
- 初等数论四大定理(威尔逊定理,欧拉定理,费马小定理,中国剩余定理)
初等数论四大定理 1. 威尔逊定理 (1) 结论 当且仅当ppp为素数时,(p−1)!≡−1(modp)(p-1)!\equiv -1(\mod p)(p−1)!≡−1(modp). (2) 证明 充 ...
- 初等数论四大定理之——费马小定理
皮埃尔·德·费马(Pierre de Fermat),1601年生于法国,是一个律师和业余数学家.他在数学多个分支上都有贡献,成就甚至超过了许多职业的数学家,被誉为"业余数学家之王" ...
- 初等数论四大定理(威尔逊定理,欧拉定理,中国剩余定理,费马小定理)
1.威尔逊定理:在初等数论中,威尔逊定理给出了判定一个自然数是否为素数的充分必要条件.即:当且仅当p为素数时:( p -1 )! ≡ p-1 ( mod p ),但是由于阶乘是呈爆炸增长的,其结论对于 ...
- 【初等数论四大定理之三】欧拉定理,费马小定理,威尔逊定理
突然想整理一下几个定理及其证明. 欧拉定理 若n,a为正整数,且n,a互质,则: 费马小定理: 假如p是质数,且gcd(a,p)=1,那么 a^(p-1)≡1(mod p) 求逆元方法之一:其实是欧拉 ...
- 提高级:初等数论 威尔逊定理
数论四大定理之威尔逊定理 数论四大定理之威尔逊定理 - 简书 威尔逊定理及其证明 - clockwhite - 博客园 数论四大定理之威尔逊定理_L__ear的博客-CSDN博客_威尔逊定理 威尔逊定 ...
- NOI数学之提高级:初等数论
欧拉定理详解 欧拉定理详解_郝伟老师的博客--大数据.并行计算与人工智能时代-CSDN博客_欧拉定理 欧拉函数与欧拉定理 欧拉函数与欧拉定理_leader_one的博客-CSDN博客_欧拉定理 欧拉定 ...
- 费马小定理与素数判定
费马小定理是初等数论四大定理(威尔逊定理,欧拉定理(数论中的欧拉定理,即欧拉函数),中国剩余定理和费马小定理)之一,在初等数论中有着非常广泛和重要的应用.实际上,它是欧拉定理的一个特殊情况. 其内容为 ...
- 深度学习(十二)——Winograd(2)
最大公约数和Euclidean algorithm(续) Euclidean algorithm的步骤如下图所示: 1.假设a>ba>ba>b,则令c:=amodbc:=amodbc ...
- 欧拉定理学习20161004
初等数论四大定理(威尔逊定理,欧拉定理(数论中的欧拉定理),中国剩余定理(又称孙子定理)和费马小定理) 费马小定理(Fermat Theory)是数论中的一个重要定理,其内容为: 假如p是质数,且gc ...
最新文章
- 为什么中国开发不出流行的操作系统和编程语言?
- MySQL innodb_flush_method 【转载】
- s5720找mac 华为交换机_【基础】交换机堆叠模式
- dota2比分网_红黑电竞比分横空出世 LPL夏季赛火热进行
- 黄聪: 50 个 Bootstrap 插件
- 编译选项—微软官方+各地总结
- 解决Chrome谷歌浏览器″Adobe Flash Player 插件已被屏蔽″的问题
- Vue计算属性、方法、侦听器
- python矩阵所有元素取整_Python中如何对一个数值进行取整操作呢?
- [VUE系列二]vue官方文档总结和整理
- 解决虚拟机上的tomcat无法被主机访问的问题
- 计算机主机不启动但 主机闪,电脑主机电源灯闪烁无法启动不了
- html表格圣杯布局页面,Css圣杯布局
- 【黑客编程】手把手教你编写POC
- android 短信接口收拦截,闪修侠科普 | 双11垃圾短信没停过,教你一键屏蔽~
- c语言实现求一个矩阵特征值和特征向量
- dvwa上传php文件,DVWA之文件上传漏洞
- python可以剪辑视频吗_你知道吗?Python也可以剪辑视频!
- 上半年净利同比降46%,依赖大客户的天润云能靠IPO翻身吗?
- 20190123——一气化三清 Java中介者模式
热门文章
- Spring的核心思想,总结得非常好!
- 为什么 Java 线程没有 Running 状态?
- StringBuilder 为什么线程不安全?
- 一个妹子的美团面试经历,成功拿到 Offer
- Spring的OncePerRequestFilter的作用
- RESTful Web 服务 - 方法
- SpringBoot+Spring Security验证密码MD5加密
- Uncaught TypeError: Cannot read property 'style' of null
- Android --- 布局属性gravity和layout_gravity的区别
- 第九届蓝桥杯java B组—第二题方格计数(详细介绍)