例题

AcWing 789. 数的范围

给定一个按照升序排列的长度为 n 的整数数组，以及 q 个查询。

对于每个查询，返回一个元素 k 的起始位置和终止位置（位置从 0 开始计数）。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

输入格式
第一行包含整数 n 和 q，表示数组长度和询问个数。

第二行包含 n 个整数（均在 1∼10000 范围内），表示完整数组。

接下来 q 行，每行包含一个整数 k，表示一个询问元素。

输出格式
共 q 行，每行包含两个整数，表示所求元素的起始位置和终止位置。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

数据范围

1≤n≤100000
1≤q≤10000
1≤k≤10000

输入样例：

6 3
1 2 2 3 3 4
3
4
5

输出样例：

3 4
5 5
-1 -1

#include <iostream>
using namespace std;const int N = 1e5 + 10;int a[N];int main()
{int n, q; cin >> n >> q;for (int i = 1; i <= n && cin >> a[i]; i ++ );while (q -- ){int k; cin >> k;int l = 0, r = n + 1;while (l + 1 != r){int m = l + r >> 1;if (a[m] < k) l = m;else r = m;}if (a[r] != k){cout << -1 << ' ' << -1 << endl;continue;}cout << r - 1 << ' ';l = 0, r = n + 1;while (l + 1 != r){int m = l + r >> 1;if (a[m] <= k) l = m;else r = m;}cout << l - 1 << endl;}
}

AcWing 790. 数的三次方根

给定一个浮点数 n，求它的三次方根。

输入格式
共一行，包含一个浮点数 n。

输出格式
共一行，包含一个浮点数，表示问题的解。

注意，结果保留 6 位小数。

数据范围

−10000≤n≤10000

输入样例：

1000.00

输出样例：

10.000000

#include <iostream>
#include <iomanip>
using namespace std;const double esp = 1e-8;int main()
{double n; cin >> n;double l = -1e4 - 10, r = 1e4 + 10;while (r - l > esp){double m = (l + r) / 2;if (m * m * m >= n) r = m;else l = m;}cout << fixed << setprecision(6) << r;
}

AcWing 795. 前缀和

输入一个长度为 n 的整数序列。

接下来再输入 m 个询问，每个询问输入一对 l,r。

对于每个询问，输出原序列中从第 l 个数到第 r 个数的和。

输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。

第二行包含 n 个整数，表示整数数列。

接下来 m 行，每行包含两个整数 l 和 r，表示一个询问的区间范围。

输出格式
共 m 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤l≤r≤n,
1≤n,m≤100000,
−1000≤数列中元素的值≤1000

输入样例：

输出样例：

3
6
10

#include <iostream>
using namespace std;const int N = 1e5 + 10;int n, m;
int a[N];int main()
{cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n && cin >> a[i]; i ++ ) a[i] += a[i - 1];while (m -- ){int l, r; cin >> l >> r;cout << a[r] - a[l - 1] << endl;}
}

AcWing 796. 子矩阵的和

输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式
第一行包含三个整数 n，m，q。

接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。

接下来 q 行，每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一组询问。

输出格式
共 q 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤n,m≤1000,
1≤q≤200000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例：

输出样例：

17
27
21

#include <iostream>
using namespace std;const int N = 1010;int n, m, q;
int a[N][N];int main()
{cin >> n >> m >> q;for (int i = 1; i <= n; i ++ )for (int j = 1; j <= m; j ++ ){cin >> a[i][j];a[i][j] = a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1] + a[i][j];}while (q -- ){int x1, y1, x2, y2;cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;cout << a[x2][y2] - a[x1 - 1][y2] - a[x2][y1 - 1] + a[x1 - 1][y1 - 1] << endl;}
}

习题

AcWing 730. 机器人跳跃问题

机器人正在玩一个古老的基于 DOS 的游戏。

游戏中有 N+1 座建筑——从 0 到 N 编号，从左到右排列。

编号为 0 的建筑高度为 0 个单位，编号为 i 的建筑高度为 H(i) 个单位。

起初，机器人在编号为 0 的建筑处。

每一步，它跳到下一个（右边）建筑。

假设机器人在第 k 个建筑，且它现在的能量值是 E，下一步它将跳到第 k+1 个建筑。

如果 H(k+1)>E，那么机器人就失去 H(k+1)−E 的能量值，否则它将得到 E−H(k+1) 的能量值。

游戏目标是到达第 N 个建筑，在这个过程中能量值不能为负数个单位。

现在的问题是机器人至少以多少能量值开始游戏，才可以保证成功完成游戏？

输入格式
第一行输入整数 N。

第二行是 N 个空格分隔的整数，H(1),H(2),…,H(N) 代表建筑物的高度。

输出格式
输出一个整数，表示所需的最少单位的初始能量值上取整后的结果。

数据范围

1≤N,H(i)≤105,

输入样例1：

5
3 4 3 2 4

输出样例1：

题意：

初始时e = h[0]，依次遍历数列，e += e - h[i]，求最小的h[0]（向上取整）使得过程中e永远大于等于0

思路：

易知，h[0]越大，整个过程中所有的e越大，因此，具有单调性
剪枝：因为h[i]的范围是[1,1e5][1,1e5][1,1e5]，因此根据公式，只要在某一状态下e达到1e5，之后一定递增或不变，直接返回true

#include <iostream>
using namespace std;const int N = 1e5 + 10;int n, a[N];bool check(int e)
{for (int i = 1; i <= n; i ++ ){e = 2 * e - a[i];if (e < 0) return false;if (e >= 1e5) return true;}return true;
}int main()
{cin >> n;for (int i = 1; i <= n && cin >> a[i]; i ++ );int l = 0, r = 100010;while (l + 1 != r){int m = l + r >> 1;if (check(m)) r = m;else l = m;}cout << r;
}

AcWing 1221. 四平方和

四平方和定理，又称为拉格朗日定理：

每个正整数都可以表示为至多 4 个正整数的平方和。

如果把 0 包括进去，就正好可以表示为 4 个数的平方和。

比如：

5=02+02+12+22
7=12+12+12+22
对于一个给定的正整数，可能存在多种平方和的表示法。

要求你对 4 个数排序：

0≤a≤b≤c≤d
并对所有的可能表示法按 a,b,c,d 为联合主键升序排列，最后输出第一个表示法。

输入格式
输入一个正整数 N。

输出格式
输出4个非负整数，按从小到大排序，中间用空格分开。

数据范围

0<N<5∗106

输入样例：

输出样例：

0 0 1 2

思路：

暴力O(n4)O(n^4)O(n4) 优化为暴力O(n3)O(n^3)O(n3)，仍然超时
哈希表法虽然复杂度为O(n2)O(n^2)O(n2)，但常数太大，仍然超时
采用二分法，虽然复杂度为O(n2logn)O(n^2logn)O(n2logn)，可以通过
二分枚举的时候仍然需要优化；有两个枚举优化之处：1.双重循环时，易知第二重循环c * c + d * d <= n；2.第二个优化不容易发现，而且是题目的先决条件，0≤a≤b≤c≤d0≤a≤b≤c≤d0≤a≤b≤c≤d，因此第二重循环以第一重循环为起始

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;const int N = 9e6;struct Sum
{int s, c, d;bool operator< (const Sum &w) const{if (s != w.s) return s < w.s;if (c != w.c) return c < w.c;return d < w.d;}
}sum[N];
int n, m;int main()
{cin >> n;for (int c = 0; c * c <= n; c ++ )for (int d = c; c * c + d * d <= n; d ++ )sum[ ++ m] = {c * c + d * d, c, d};sort(sum + 1, sum + 1 + m);for (int a = 0; a * a <= n; a ++ )for (int b = a; a * a + b * b <= n; b ++ ){int need = n - a * a - b * b;int l = 0, r = m + 1;while (l + 1 != r){int mid = l + r >> 1;if (sum[mid].s >= need) r = mid;else l = mid;}if (sum[r].s == need){cout << a << ' ' << b << ' ' << sum[r].c << ' ' << sum[r].d;return 0;}}
}

AcWing 1227. 分巧克力

儿童节那天有 K 位小朋友到小明家做客。

小明拿出了珍藏的巧克力招待小朋友们。

小明一共有 N 块巧克力，其中第 i 块是 Hi×Wi 的方格组成的长方形。

为了公平起见，小明需要从这 N 块巧克力中切出 K 块巧克力分给小朋友们。

切出的巧克力需要满足：

形状是正方形，边长是整数
大小相同
例如一块 6×5 的巧克力可以切出 6 块 2×2 的巧克力或者 2 块 3×3 的巧克力。

当然小朋友们都希望得到的巧克力尽可能大，你能帮小明计算出最大的边长是多少么？

输入格式
第一行包含两个整数 N 和 K。

以下 N 行每行包含两个整数 Hi 和 Wi。

输入保证每位小朋友至少能获得一块 1×1 的巧克力。

输出格式
输出切出的正方形巧克力最大可能的边长。

数据范围

1≤N,K≤105,
1≤Hi,Wi≤105

输入样例：

2 10
6 5
5 6

输出样例：

#include <iostream>
using namespace std;const int N = 1e5 + 10;int n, k;
int h[N], w[N];bool check(int len)
{int res = 0;for (int i = 1; i <= n; i ++ ){res += (h[i] / len) * (w[i] / len);if (res >= k) return true;}return false;
}int main()
{cin >> n >> k;for (int i = 1; i <= n && cin >> h[i] >> w[i]; i ++ );int l = 0, r = 1e5 + 1;while (l + 1 != r){int mid = l + r >> 1;if (check(mid)) l = mid;else r = mid;}cout << l;
}

AcWing 99. 激光炸弹

地图上有 N 个目标，用整数 Xi,Yi 表示目标在地图上的位置，每个目标都有一个价值 Wi。

注意：不同目标可能在同一位置。

现在有一种新型的激光炸弹，可以摧毁一个包含 R×R 个位置的正方形内的所有目标。

激光炸弹的投放是通过卫星定位的，但其有一个缺点，就是其爆炸范围，即那个正方形的边必须和 x，y 轴平行。

求一颗炸弹最多能炸掉地图上总价值为多少的目标。

输入格式
第一行输入正整数 N 和 R，分别代表地图上的目标数目和正方形的边长，数据用空格隔开。

接下来 N 行，每行输入一组数据，每组数据包括三个整数 Xi,Yi,Wi，分别代表目标的 x 坐标，y 坐标和价值，数据用空格隔开。

输出格式
输出一个正整数，代表一颗炸弹最多能炸掉地图上目标的总价值数目。

数据范围

0≤R≤109
0<N≤10000,
0≤Xi,Yi≤5000
0≤Wi≤1000

输入样例：

2 1
0 0 1
1 1 1

输出样例：

思路：

由输入的数据我们可以得到这个地图的宽高；注意这个地图的宽高至少是R，否则就无法进入循环了
R最多是5001，多出来的部分没有意义
枚举框起来的范围时，注意我们枚举右下角

#include <iostream>
using namespace std;const int N = 5010;int cnt, R;
int w[N][N];int main()
{cin >> cnt >> R;R = min(R, 5001);int n = R, m = R;while (cnt -- ){int x, y, ww;cin >> x >> y >> ww;x ++ , y ++ ;n = max(n, x), m = max(m, y);w[x][y] += ww;}for (int i = 1; i <= n; i ++ )for (int j = 1; j <= m; j ++ )w[i][j] = w[i - 1][j] + w[i][j - 1] - w[i - 1][j - 1] + w[i][j];int res = 0;for (int x2 = R; x2 <= n; x2 ++ )for (int y2 = R; y2 <= m; y2 ++ ){int x1 = x2 - R + 1, y1 = y2 - R + 1;res = max(res, w[x2][y2] - w[x1 - 1][y2] - w[x2][y1 - 1] + w[x1 - 1][y1 - 1]);}cout << res << endl;
}

AcWing 1230. K倍区间

给定一个长度为 N 的数列，A1,A2,…AN，如果其中一段连续的子序列 Ai,Ai+1,…Aj 之和是 K 的倍数，我们就称这个区间 [i,j] 是 K 倍区间。

你能求出数列中总共有多少个 K 倍区间吗？

输入格式
第一行包含两个整数 N 和 K。

以下 N 行每行包含一个整数 Ai。

输出格式
输出一个整数，代表 K 倍区间的数目。

数据范围

1≤N,K≤100000,
1≤Ai≤100000

输入样例：

输出样例：

题意：

这里i可以等于j

思路：

(sum[r]−sum[l−1])(sum[r] - sum[l - 1])(sum[r]−sum[l−1]) % k == 0，推出sum[r] % k == sum[l - 1] % k
因此，一维循环即可。遍历到第i个元素时，只要答案累加前面与它模的结果相同的个数即可，同时维护模的结果的序列
注意这道题开long long，因为区间数溢出int了

#include <iostream>
using namespace std;typedef long long ll;const int N = 1e5 + 10;ll n, k;
ll a[N], cnt[N];int main()
{cin >> n >> k;for (int i = 1; i <= n && cin >> a[i]; i ++ ) a[i] += a[i - 1];ll res = 0;for (int i = 1; i <= n; i ++ ){res += cnt[a[i] % k];if (a[i] % k == 0) res ++ ;cnt[a[i] % k] ++ ;}cout << res;
}

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