第二十八讲解非齐次线性方程组

一，关于二阶方程组x⃗′=Ax⃗{\vec{x}}'=A\vec{x}x′=Ax的理论（对n阶方程也成立）：
（假设A是常数矩阵）

定理A：x⃗′=Ax⃗{\vec{x}}'=A\vec{x}x′=Ax的通解是x⃗=c1x1⃗+c2x2⃗\vec{x}=c_{1}\vec{x_{1}}+c_{2}\vec{x_{2}}x=c1x1+c2x2（x1⃗\vec{x_{1}}x1和x2⃗\vec{x_{2}}x2线性无关）
证明可以用线性叠加原理，这里不做详细说明了。
定理B：朗斯基行列式W(x1⃗,x2⃗):=∣x1⃗x2⃗∣W(\vec{x_{1}},\vec{x_{2}}):=|\vec{x_{1}} \vec{x_{2}}|W(x1,x2):=∣x1x2∣，（符号:=:=:=表示定义或等价），这里x1⃗\vec{x_{1}}x1和x2⃗\vec{x_{2}}x2不一定线性无关。如果二阶方程有两个解，那么朗斯基行列式是自变量t的函数，并且有两种可能性，要么W(t)̸≡0W(t)\not\equiv 0W(t)̸≡0（当x1⃗\vec{x_{1}}x1和x2⃗\vec{x_{2}}x2线性无关时），要么W≡0W\equiv 0W≡0（当x1⃗\vec{x_{1}}x1和x2⃗\vec{x_{2}}x2线性相关时）。
方程组的基本矩阵：x⃗′=Ax⃗{\vec{x}}'=A\vec{x}x′=Ax，特征向量矩阵X:=[x1⃗x2⃗]X:=\begin{bmatrix}\vec{x_{1}} & \vec{x_{2}}\end{bmatrix}X:=[x1x2]，x1⃗\vec{x_{1}}x1和x2⃗\vec{x_{2}}x2线性无关
X的性质1：|X|对于任意自变量t都≠0，因为x1⃗\vec{x_{1}}x1和x2⃗\vec{x_{2}}x2线性无关
X的性质2：X′=[x1⃗′x2⃗′]=[Ax1⃗Ax2⃗]=A[x1⃗x2⃗]=AX{X}'=\begin{bmatrix}{\vec{x_{1}}}' & {\vec{x_{2}}}'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A\vec{x_{1}} & A\vec{x_{2}}\end{bmatrix}=A\begin{bmatrix}\vec{x_{1}} & \vec{x_{2}}\end{bmatrix}=AXX′=[x1′x2′]=[Ax1Ax2]=A[x1x2]=AX

二，解非齐次线性方程组：
一般形式：{x′=ax+by+r1(t)y′=cx+dy+r2(t)\left\{\begin{matrix}{x}'=ax+by+{\color{Red} r_{1}(t)}\\ {y}'=cx+dy+{\color{Red} r_{2}(t)}\end{matrix}\right.{x′=ax+by+r1(t)y′=cx+dy+r2(t)
简化形式：x⃗′=Ax⃗+r⃗(t){\vec{x}}'=A\vec{x}+\vec{r}(t)x′=Ax+r(t)
定理C：微分方程组的通解xg⃗=xc⃗+xp⃗\vec{x_{g}}=\vec{x_{c}}+\vec{x_{p}}xg=xc+xp，其中xc⃗\vec{x_{c}}xc是x⃗′=Ax⃗{\vec{x}}'=A\vec{x}x′=Ax的通解，xp⃗\vec{x_{p}}xp是微分方程组的一个特解。可以用线性叠加原理证明。
找到特解xp⃗\vec{x_{p}}xp是求解的关键。

三，例题：

图中，箭头表示流向，数字表示流速，单位是L/h，x表示左边容器中盐的含量，y表示右边容器中盐的含量，两个容器的容量都是1L。
假设输入项为：外部流入左边容器的液体浓度是5e−t5e^{-t}5e−t，外部流入右边容器的液体浓度是0。输入项不全为0，决定了方程组是非齐次方程组。

建立微分方程组：
x′=−3x+2y+5e−t{x}'=-3x+2y+5e^{-t}x′=−3x+2y+5e−t
含义：左边容器x的变化率=-流出速度X左容器中盐的浓度+内部流入速度X右容器中盐的浓度+从外部流入速度X外部液体的浓度。
y′=3x−4y+0{y}'=3x-4y+0y′=3x−4y+0
含义：右边容器y的变化率=内部流入速度X左容器中盐的浓度+流出速度X右容器中盐的浓度+从外部流入速度X外部液体的浓度。
{x′=−3x+2y+5e−ty′=3x−4y+0\left\{\begin{matrix}{x}'=-3x+2y+5e^{-t}\\ {y}'=3x-4y+0\end{matrix}\right.{x′=−3x+2y+5e−ty′=3x−4y+0
矩阵化：
[x′y′]=[−323−4][xy]+[5e−t0]\begin{bmatrix}{x}'\\ {y}'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-3 & 2\\ 3 & -4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}5e^{-t}\\ 0\end{bmatrix}[x′y′]=[−332−4][xy]+[5e−t0]
参数变分法求特解xp⃗\vec{x_{p}}xp：
xp⃗=v1(t)x1⃗+v2(t)x2⃗\vec{x_{p}}=v_{1}(t)\vec{x_{1}}+v_{2}(t)\vec{x_{2}}xp=v1(t)x1+v2(t)x2
和定理A类似，只不过把常数c改成了参数v
化为基本矩阵：xp⃗=[x1⃗x2⃗][v1(t)v2(t)]=Xv⃗\vec{x_{p}}=\begin{bmatrix} \vec{x_{1}}& \vec{x_{2}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_{1}(t)\\ v_{2}(t)\end{bmatrix}=X\vec{v}xp=[x1x2][v1(t)v2(t)]=Xv
将特解xp⃗\vec{x_{p}}xp代入方程组x⃗′=Ax⃗+r⃗(t){\vec{x}}'=A\vec{x}+\vec{r}(t)x′=Ax+r(t)，求出v⃗\vec{v}v：
代入得：xp⃗′=Axp⃗+r⃗(t){\vec{x_{p}}}'=A\vec{x_{p}}+\vec{r}(t)xp′=Axp+r(t)
等式左边：xp⃗′=(Xv⃗)′=X′v⃗+Xv⃗′{\vec{x_{p}}}'={(X\vec{v})}'={X}'\vec{v}+X{\vec{v}}'xp′=(Xv)′=X′v+Xv′，（乘积的求导公式）
等式右边：Ax⃗+r⃗(t)=AXv⃗+r⃗(t)A\vec{x}+\vec{r}(t)=AX\vec{v}+\vec{r}(t)Ax+r(t)=AXv+r(t)
因为X是方程组的基本矩阵，所以根据X的性质2：AX=X′AX={X}'AX=X′
等式右边：Ax⃗+r⃗(t)=AXv⃗+r⃗(t)=X′v⃗+r⃗(t)A\vec{x}+\vec{r}(t)=AX\vec{v}+\vec{r}(t)={X}'\vec{v}+\vec{r}(t)Ax+r(t)=AXv+r(t)=X′v+r(t)
左边=右边：X′v⃗+Xv⃗′=X′v⃗+r⃗(t)⇒Xv⃗′=r⃗(t){X}'\vec{v}+X{\vec{v}}'={X}'\vec{v}+\vec{r}(t)\Rightarrow X{\vec{v}}'=\vec{r}(t)X′v+Xv′=X′v+r(t)⇒Xv′=r(t)
v⃗′=X−1r⃗(t){\vec{v}}'=X^{-1}\vec{r}(t)v′=X−1r(t)，根据X的性质1，X存在逆矩阵
v⃗=∫X−1r⃗(t)dt\vec{v}=\int X^{-1}\vec{r}(t)dtv=∫X−1r(t)dt，X−1r⃗(t)X^{-1}\vec{r}(t)X−1r(t)是一个列向量，元素都是t的函数，只要逐个积分就算出来了。
结果：xp⃗=Xv⃗=X∫X−1r⃗(t)dt\vec{x_{p}}=X\vec{v}=X\int X^{-1}\vec{r}(t)dtxp=Xv=X∫X−1r(t)dt，只要找到一个特解就行，因此不用在公式后加积分常数。
求x⃗′=Ax⃗{\vec{x}}'=A\vec{x}x′=Ax的通解xc⃗\vec{x_{c}}xc的部分省略了

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