力扣- -241.为运算表达式设计优先级(分治算法)

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力扣- -241.为运算表达式设计优先级(分治算法)
- 一、题目描述
- 二、分析
- 三、代码
- 四、优化

一、题目描述

二、分析

看到这道题的第一感觉肯定是复杂，我要穷举出所有可能的加括号方式，是不是还要考虑括号的合法性？是不是还要考虑计算的优先级？
是的，这些都要考虑，但是不需要我们来考虑。利用分治思想和递归函数，算法会帮我们考虑一切细节，也许这就是算法的魅力吧，哈哈哈。

废话不多说，解决本题的关键有两点：

1、不要思考整体，而是把目光聚焦局部，只看一个运算符。
该问题只要思考每个部分需要做什么，而不要思考整体需要做什么。
说白了，解决递归相关的算法问题，就是一个化整为零的过程，你必须瞄准一个小的突破口，然后把问题拆解，大而化小，利用递归函数来解决。
2、明确递归函数的定义是什么，相信并且利用好函数的定义。
这也是前文经常提到的一个点，因为递归函数要自己调用自己，你必须搞清楚函数到底能干嘛，才能正确进行递归调用。

下面来具体解释下这两个关键点怎么理解。

我们先举个例子，比如我给你输入这样一个算式：

1 + 2 * 3 - 4 * 5

请问，这个算式有几种加括号的方式？请在一秒之内回答我。
估计你回答不出来，因为括号可以嵌套，要穷举出来肯定得费点功夫。
不过呢，嵌套这个事情吧，我们人类来看是很头疼的，但对于算法来说嵌套括号不要太简单，一次递归就可以嵌套一层，一次搞不定大不了多递归几次。
所以，作为写算法的人类，我们只需要思考，如果不让括号嵌套（即只加一层括号），有几种加括号的方式？
还是上面的例子，显然我们有四种加括号方式：

(1) + (2 * 3 - 4 * 5)(1 + 2) * (3 - 4 * 5)(1 + 2 * 3) - (4 * 5)(1 + 2 * 3 - 4) * (5)

发现规律了么？其实就是按照运算符进行分割，给每个运算符的左右两部分加括号，这就是之前说的第一个关键点，不要考虑整体，而是聚焦每个运算符。
现在单独说上面的第三种情况：

(1 + 2 * 3) - (4 * 5)

我们用减号-作为分隔，把原算式分解成两个算式1 + 2 * 3和4 * 5。
分治分治，分而治之，这一步就是把原问题进行了「分」，我们现在要开始「治」了。
1 + 2 * 3可以有两种加括号的方式，分别是：

(1) + (2 * 3) = 7(1 + 2) * (3) = 9

或者我们可以写成这种形式：

1 + 2 * 3 = [9, 7]

而4 * 5当然只有一种加括号方式，就是4 * 5 = [20]。
然后呢，你能不能通过上述结果推导出(1 + 2 * 3) - (4 * 5)有几种加括号方式，或者说有几种不同的结果？
显然，可以推导出来(1 + 2 * 3) - (4 * 5)有两种结果，分别是：

9 - 20 = -117 - 20 = -13

那你可能要问了，1 + 2 * 3 = [9, 7]的结果是我们自己看出来的，如何让算法计算出来这个结果呢？

vector<int> diffWaysToCompute(string input)

这个函数不就是干这个事儿的吗？这就是我们之前说的第二个关键点，明确函数的定义，相信并且利用这个函数定义。
你甭管这个函数怎么做到的，你相信它能做到，然后用就行了，最后它就真的能做到了。
那么，对于(1 + 2 * 3) - (4 * 5)这个例子，我们的计算逻辑其实就是这段代码：

vector<int> diffWaysToCompute("(1 + 2 * 3) - (4 * 5)") {vector<int> res;/****** 分 ******/vector<int> left = diffWaysToCompute("1 + 2 * 3");vector<int> right = diffWaysToCompute("4 * 5");/****** 治 ******/for (int a : left)for (int b : right)res.emplace_back(a - b);return res;
}

好，现在(1 + 2 * 3) - (4 * 5)这个例子是如何计算的，你应该完全理解了吧，那么回来看我们的原始问题。
原问题1 + 2 * 3 - 4 * 5是不是只有(1 + 2 * 3) - (4 * 5)这一种情况？是不是只能从减号-进行分割？

不是，每个运算符都可以把原问题分割成两个子问题，刚才已经列出了所有可能的分割方式：

(1) + (2 * 3 - 4 * 5)(1 + 2) * (3 - 4 * 5)(1 + 2 * 3) - (4 * 5)(1 + 2 * 3 - 4) * (5)

所以，我们需要穷举上述的每一种情况，可以进一步细化一下解法代码

三、代码

class Solution {public:vector<int> diffWaysToCompute(string input) {if(input.empty()) {return {};}//每个递归的结果vector<int> ret;//循环便利找符号for(size_t i = 0;i < input.size(); ++i) {if(input[i] == '+' || input[i] == '-' || input[i] == '*') {//递归左右vector<int> left = diffWaysToCompute(input.substr(0, i));vector<int> right = diffWaysToCompute(input.substr(i + 1, input.size() - i));//计算结果for(auto &l : left) {for( auto &r : right) {if(input[i] == '+') {ret.emplace_back(l + r);}else if(input[i] == '-') {ret.emplace_back(l - r);}else {ret.emplace_back(l * r);}}}}}//递归出口//代表本次递归下来没找到符号，就是只有数字，直接返回即可if(ret.empty()) {ret.emplace_back(stoi(input));return ret;}return ret;}
};

这段代码应该很好理解了吧，就是扫描输入的算式input，每当遇到运算符就进行分割，递归计算出结果后，根据运算符来合并结果。
这就是典型的分治思路，先「分」后「治」，先按照运算符将原问题拆解成多个子问题，然后通过子问题的结果来合成原问题的结果。
当然，一个重点在这段代码：

// base case
// 如果 ret 为空，说明算式是一个数字，没有运算符
if(ret.empty()) {ret.emplace_back(stoi(input));return ret;
}

递归函数必须有个 base case 用来结束递归，其实这段代码就是我们分治算法的 base case，代表着你「分」到什么时候可以开始「治」。
我们是按照运算符进行「分」的，一直这么分下去，什么时候是个头？显然，当算式中不存在运算符的时候就可以结束了。
那为什么以ret.empty()作为判断条件？因为当算式中不存在运算符的时候，就不会触发 if 语句，也就不会给ret中添加任何元素。

四、优化

// 备忘录
std::map<string, vector<int>> memo;vector<int> diffWaysToCompute(string input) {// 避免重复计算if (memo.count(input)) {return memo[input];}/****** 其他都不变 ******//***********************/// 将结果添加进备忘录memo[input] = res;return res;
}

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