什么是选择问题
划分的思路
Lomuto 划分
利用划分求第k小元素
C语言实现
改进
参考资料

什么是选择问题

选择问题（selection problem）是求一个n个数列表的第k个最小元素的问题。这个数字被称为第k个顺序统计量（order statistic）。当然，对于k=1或者k=n的情况，我们可以扫描整个列表，找出最小或者最大的元素。对于其他情况，我们可以对列表进行排序，然后返回第k个元素。

可是，对于整个列表进行排序是不是小题大做？因为该问题仅仅是要找出第k小的元素，而不是要求把列表从小到大排列。

划分的思路

我们可以将给定的列表根据某个值p（例如列表的第一个元素）进行划分。一般来说，这是对列表元素的重新整理，使左边部分包含所有小于等于p的元素，紧接着是中轴（pivot）p本身，再接着是所有大于等于p的元素。如下图所示

有两种主要的划分方法，本文讨论 Lomuto 划分，以后会介绍更有名的 Hoare 划分。

Lomuto 划分

Lomuto（洛穆托）划分的伪代码如下：

// 算法：Lomuto_Partition(A[l..r])
// 用第一个元素作为中轴对子数组进行划分
// 输入：数组A[0..n-1]的一个子数组A[l..r]，它由左右两边的索引l和r(l<=r)定义
// 输出：A[l..r]的划分和中轴的新位置p = A[l]
s = l
for i=l+1 to r doif A[i] < ps = s+1;swap(A[s], A[i])
swap(A[l], A[s])
return s

利用划分求第`k`小元素

我们如何利用划分列表来寻找其第k小元素呢？

假设列表是以数组实现的，其元素索引从0开始，那么第k小的元素就是把此列表从小到大排序后，索引在k-1位置上的元素。

假设首次划分此列表，s是分割位置，也就是划分后中轴元素的索引。我们分3种情况进行讨论：

[1]. 当s=k-1 ,那么中轴p本身显然就是第k小的元素；

[2]. 如果s>k-1，那么整个列表的第k小元素就是左边部分的第k小元素；

[3]. 如果s<k-1，那么问题就转换为求右边部分的第(k-s-1)小元素；推导过程是这样的：本来是求第k小，通过划分，筛除了最前面的(s+1)个元素，所以只用求右边部分（蓝色）的第 k-(s+1)小。

可以看出，第2种情况和第3种情况虽然没有彻底解决问题，但是使问题的实例变小了。对于这个较小的实例可以用同样的方法来解决，即递归求解。这个算法被称为“快速选择”，在算法思想中属于减可变规模算法（减治法的一种）。

C语言实现

// 交换*a和*b
void swap(int* a, int* b)
{int temp = *a;*a = *b;*b = temp;
}
// a是数组首地址，l和r分别是两端的索引,要求l<=r
int Lomuto_partition(int a[], int l, int r)
{int pivot = a[l];int j = l;for(int i = l + 1; i <= r; ++i){if( a[i] < pivot ){swap( &a[++j], &a[i]);}}swap(&a[l], &a[j]);return j;   // j是下标
}// 返回第k小的元素值。
// 注意：k不是下标，表示第k个
int __quick_select(int a[], int l, int r, int k)
{// s是分裂点，中轴的下标int s = Lomuto_partition(a, l, r);if(s == l+k-1)return a[s];else if( s > (l+k-1) )// 处理左边的部分return __quick_select(a, l, s-1, k);else // 处理右边的部分return __quick_select(a, s+1, r, k-(s-l+1));
}// 快速选择主函数
int quick_select_min(int a[], int len, int k)
{return __quick_select(a, 0, len-1, k);
}

测试代码如下：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>int main(int argc,char *argv[])
{int k = atoi(argv[1]); //把命令行输入的字符串转为整数printf("k = %d \n",k);int array[] = {9,9,8,7,6,5,4,3,3,3,2,2,2,1,1,0,}; int len = sizeof array/sizeof array[0];printf("%dth min = %d\n", k, quick_select_min(array,len,k) );return 0;
}

运行截图：

改进

该算法也可以不用递归实现。在非递归版本中，甚至不需要调整k的值，只要一直调用Lomuto_partition，直到s=k-1为止。

代码如下：

int quick_select_min_2(int a[], int len, int k)
{int left = 0;int right = len - 1;int s;// 直到返回的下标是 k-1 为止while( (s = Lomuto_partition(a, left, right)) != (k-1) ){if(s < k-1)left = s+1; //处理右边的部分elseright = s-1; // 处理左边的部分}return a[s];
}

参考资料

《算法设计与分析基础（第3版）》（清华大学出版社）

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