基本求导公式与基本积分

基本初等函数的导数与微分公式

导数公式	微分公式
${(x^{\mu})}'=\mu x^{\mu-1}$	$d(x^{\mu})=\mu x^{\mu -1}dx$
${(sin\, x)}'=cos\, x$	$d(sin\, x)=cos\, x\, dx$
${(cos\, x)}'=-sin\, x$	$d(cos\, x)=-sin\, x\,dx$
${(tan\, x)}'=sec^{2}x$	$d(tan\, x)=sec^{2}x\,dx$
${(cot\, x)}'=-csc^{2}x$	$d{(cot\, x)}=-csc^{2}x\,dx$
${(sec\, x)}'=sec\, x \, tan\, x$	$d{(sec\, x)}=sec\, x \, tan\, x\,dx$
${(csc\, x)}'=-csc\, x \, cot\, x$	$d{(csc\, x)}'=-csc\, x \, cot\, x\,dx$
${(a^{x})}'=a^{x}ln\, a$	$d{(a^{x})}'=a^{x}ln\, a\, dx$
${(e^{x})}'=e^{x}$	$d(e^{x})=e^{x}\, dx$
${(log_{a}\, x)}'=\frac{1}{x\, ln\, a}$	$d(log_{a}\, x)=\frac{d\, x}{x\, ln\, a}$
${(ln\, x)}'=\frac{1}{x}$	$d(ln\, x)=\frac{1}{x} d\, x$
${(arcsin\, x)}'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$	$d(arcsin\, x)=\frac{d\, x}{\sqrt{1-x^{2}}}$
${(arccos\, x)}'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$	$d(arccos\, x)=-\frac{d\, x}{\sqrt{1-x^{2}}}$
${(arctan\, x)}'=\frac{1}{1+x^{2}}$	$d(arctan\, x)=\frac{d\, x}{1+x^{2}}$
${(arccot\, x)}'=-\frac{1}{1+x^{2}}$	$d(arccot\, x)=-\frac{d\, x}{1+x^{2}}$

基本积分

其中k为常数，C为常数

$\int k\, dx=kx+C$	$\int x^{\mu }dx=\frac{1}{(\mu +1)}x^{\mu +1}$
$\int \frac{1}{x}dx=ln\left \| x \right \|+C$	$\int e^{x}dx=e^{x}+C$
$\int a^{x}dx=\frac{a^{x}}{ln\, a}+C$	$\int cos\, xdx=sin\, x+C$
$\int sin\, xdx=-cos\, x+C$	$\int \frac{1}{cos^{2}\, x}dx=\int sec^{2}\, xdx=tan\, x+C$
$\int \frac{1}{sin^{2}\, x}dx=\int csc^{2}xdx=-cotx+C$	$\int \frac{1}{x^{2}+1}dx=arctan\, x+C$
$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=arcsin\, x+C$	$\int sec\, x\, tan\, xdx=sec\, x+C$
$\int csc\, x\, cot\, xdx=-csc\, x+C$	$\int tan\, xdx=-ln\left \|cosx \right \|+C$
$\int cot\, xdx=ln\left \| sin\, x \right \|+C$	$\int sec\, xdx=ln\left \| sec\, x+tan\, x \right \|+C$
$\int csc\, xdx=ln\left \| csc\, x-cot\, x \right \|+C$	$\int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}dx=\frac{1}{a}arctan\, \frac{x}{a}+C$
$\int \frac{1}{x^{2}-a^{2}}dx=\frac{1}{2a}ln\left \| \frac{x-a}{x+a} \right \|+C$	$\int \frac{1}{a^{2}-x^{2}}dx=arcsin\, \frac{x}{a}+C$
$\int \frac{1}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}dx=ln(x+\sqrt{a^{2}+x^{2}})+C$	$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}dx=ln\left \| x+ \sqrt{x^{2}-a^{2}}\right \|+C$

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