【数学 进阶】初等数论 学习笔记
文章目录
- 0x00 整除
- 0x10 同余
- 0x20 最大公约数
- 0x21 辗转相除法（欧几里得法）
- 0x22 最小公倍数
- 0x23 拓展欧几里得定理
- 0x24 求解线性同余方程
- 0x30 逆元
- 0x40 中国剩余定理
- 0x50 斐波那契数
- 0x60 卡特兰数
- 0x70 欧拉函数
- 0x71 欧拉函数的定义
- 0x72 欧拉函数的线性筛法
- 0x73 欧拉函数的使用
- 0x80 素数
- 0x81 威尔逊定理
- 0x82 费马小定理
- 0x83 埃式筛法&线性筛法
- 0x84 Millar-Rabin 素数测试
- 0x85 欧拉定理
- 0x86 Pollard Rho 求大数因子
0x00 整除
重点不多，主要集中在几点上：
1.整除符号：
a∣ba | ba∣b
表示，b可以被a整除。
记忆方法：b >= a(像分母一样)
2. a | b 且 b | c，则a | (b * x + c * y)
3. a * x + b + y = 1 且 a | n , b | n，则 (a + b) | n
4. b = 任何整数 * d + c，则d | b 的充要条件为d | c
5. 2 能整除 a 的末 1 位，则 2 | a
4 能整除 a 的末 2 位，则 4 | a
8 能整除 a 的末 3 位，则 8 | a
3 能整除 a 的各位数字和，则 3 | a
9 能整除 a 的各位数字和，则 9 | a
11 能整除 a 的偶位数字和与奇位数字之和的差，则 11 | a
7或11或13整除a的末三位数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数的差（大数减小数)，则7或11或13 | a
0x10 同余
a≡b(modm)a\equiv b\pmod{m}a≡b(modm)
表示 a 与 b 关于 m 同余
若a≡b(modm)a\equiv b\pmod{m}a≡b(modm) 且 b≡c(modm)b\equiv c\pmod{m}b≡c(modm)
则a≡c(modm)a\equiv c\pmod{m}a≡c(modm)
若a≡b(modm)a\equiv b\pmod{m}a≡b(modm) 则 a∗c≡b∗c(modm)a*c\equiv b*c\pmod{m}a∗c≡b∗c(modm)
若a≡b(modm)a\equiv b\pmod{m}a≡b(modm) , c≡d(modm)c\equiv d\pmod{m}c≡d(modm) 则 a∗c≡b∗d(modm)a*c\equiv b*d\pmod{m}a∗c≡b∗d(modm)
若 a≡b(modm)a\equiv b\pmod{m}a≡b(modm) 则 an≡bn(modm)a^n\equiv b^n\pmod{m}an≡bn(modm)
a∗b(modm)a* b\pmod{m}a∗b(modm) == (a∗m)∗(b∗m)(modm)(a * m) * (b * m) \pmod{m}(a∗m)∗(b∗m)(modm)
amodp=xa \mod p = xamodp=x 且 amodq=xa\mod q = xamodq=x 则 p , q 互质
本质： a≡b(modm)a\equiv b\pmod{m}a≡b(modm) => a - b = m * k
0x20 最大公约数
0x21 辗转相除法（欧几里得法）
inline int gcd(int x , int y){return y ? gcd(y , x % y) : x ;
}
0x22 最小公倍数
gcd(a , b) * lcm(a , b) = a * b ;
逆推一下即可。
0x23 拓展欧几里得定理
目的： 已知 a , b , 求一组 p , q 使得
p∗a+q∗b=gcd(a,b)p * a+q*b=gcd(a , b)p∗a+q∗b=gcd(a,b)
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std ;int num1 ,num2 ;int fir ,sec ;
inline int extended_gcd(int a , int b){int rep ,tmp ;if(b == 0){fir = 1 ;sec = 0 ;return a ;}rep = extended_gcd(b , a % b) ;tmp = fir ;fir = sec ;sec = tmp - a / b * sec ;return rep ;
}int main(){scanf("%d%d" , &num1 , &num2) ;int ans = extended_gcd(num1 , num2) ;printf("%d * %d + %d * %d = %d" , num1 , fir , num2 , sec , ans) ;return 0 ;
}
0x24 求解线性同余方程
首先我们要明确一件事情：针对
a∗x+b∗y=ca*x+b*y=ca∗x+b∗y=c
等价于
a∗x≡c(modb)a*x\equiv c\pmod{b}a∗x≡c(modb)
充要条件：
cmodgcd(a,b)=0c \mod{gcd(a , b)} = 0cmodgcd(a,b)=0
解法：
- 首先，找到一组 a * x0 + b * y0 = gcd(x0 , y0)
- 变式：
a∗x0∗cgcd(x0,y0)+b∗y0∗cgcd(x0,y0)=c\frac{a * x_0 * c}{gcd(x_0 , y_0)} + \frac{b * y_0 * c}{gcd(x_0 , y_0)} = cgcd(x0,y0)a∗x0∗c+gcd(x0,y0)b∗y0∗c=c
此时
a∗x0∗cgcd(x0,y0)+b∗y0∗cgcd(x0,y0)=ca*\frac{x_0 * c}{gcd(x_0 , y_0)}+b* \frac{ y_0 * c}{gcd(x_0 , y_0)}=c a∗gcd(x0,y0)x0∗c+b∗gcd(x0,y0)y0∗c=c
a和b的两个系数分别是x , y的解。
若 gcd(a , b) = 1 ， 且x0 ， y0 为 a x + b y = c的 1 组解，则
{x=x0+b∗ty=y0−a∗t\begin{cases}x = x_0 + b*t\\y=y_0-a*t\end{cases}{x=x0+b∗ty=y0−a∗t
目的：求最小整数解
t=bgcd(a,b)t=\frac{b}{\gcd(a ,b)}t=gcd(a,b)b
记得
x=(xmodt+t)modtx = (x \mod t + t)\mod{t}x=(xmodt+t)modt
（为了防负数）
0x30 逆元
“除以一个数再取模等同于乘以这个数的逆元再取模 ”
这就是逆元的本质。具体的 code:
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std ;int a ;
const int MOD = 1000007 ;//拓展欧几里得求逆元
//时间复杂度：O(logn)
//特点：只要存在逆元即可求，适用于个数不多但是mod很大的时候，也是最常见的一种求逆元的方法
int fir ;
int sec ;
inline int exgcd(int a , int b){if(b == 0){fir = 1 ;sec = 0 ;return a ;}int ans = exgcd(b , a%b) ;int cmp = fir ;fir = sec ;sec = cmp - a / b * sec ;return ans ;
}
inline int inv_gcd(int a , int mod){//求a在mod下的逆元(不存在返回-1)int d = exgcd(a , mod) ;return d == 1 ? (fir % mod + mod) % mod : -1 ;
}//费马小定理、欧拉定理求逆元（蒙哥马利快速幂求逆元）
//时间复杂度：O(logmod)
//一般在mod是个素数的时候用，比扩欧快一点。但是如果是合数，相信一般没人无聊到去算个欧拉函数。
inline int qpow(int base , int p , int mod){int res = 1 ;while(p){if(p & 1)res = (res % mod) * base % mod ;base = (base % mod) * base % mod ;p >>= 1 ;}return res ;
}
inline int inv_fermat(int a , int mod){return qpow(a , mod-2 , mod) ;
}//线性求逆元
//时间复杂度：O(n)
//调用前要先预处理、调用的时候要先对除数取mod;mod数是不大的素数而且多次调用，比如卢卡斯定理。
int invnum[MOD + 5] ;
inline void inv(int mod){invnum[1] = 1 ;for(int i = 2;i < mod;++i)//注意开long longinvnum[i] = (mod - mod / i) * invnum[mod % i] % mod ;
} //递归求逆元
//时间复杂度：O(logmod)
//好像找到了最简单的算法了！！
//适用范围： mod数是素数，所以并不好用，比如中国剩余定理中就不好使
//因为很多时候可能会忘记考虑mod数是不是素数。
inline int inv_dp(int i , int mod){if(i == 1)return 1 ;return (mod - mod / i) * inv_dp(mod % i , mod) % mod ;
}int main(){int mod ;scanf("%d%d" , &a , &mod) ;int ans1 = inv_gcd(a , mod) ;cout << ans1 << '\n' ;int ans2 = inv_fermat(a , mod) ;cout << ans2 << '\n' ;inv(mod) ;cout << invnum[a] << '\n' ;int ans4 = inv_dp(a , mod) ;cout << ans4 << '\n' ;return 0 ;
}
材料记录
0x40 中国剩余定理
解决问题：线性同余方程组
将下面的方程组进行分解：
基于每一项提取系数并拆分得出 k 个方程组：
这些方程组都要在乘上一个系数才是真正的答案。
code:
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std ;const int MAXN = 20 ;long long n ;
long long mod[MAXN] ;
long long num[MAXN] ;inline long long exgcd(long long a , long long b , long long &x , long long &y){if(b == 0){x = 1 ;y = 0 ;return a ;}long long gcd = exgcd(b , a%b , x , y) ;long long t = x ;x = y ;y = t - a / b * y ;return gcd ;
}inline long long CRT(){long long x ,y ;long long ans = 0 ;long long sum = 1 ;long long m = 0 ;for(long long i = 1;i <= n;++i){sum *= mod[i] ;}for(long long i = 1;i <= n;++i){m = sum / mod[i] ;//拆分每个方程组，m是拆下来后剩下的其他值exgcd(mod[i] , m , x , y) ;//求解单个线性方程组ans = (ans + y * m * num[i]) % sum ;}return ans > 0 ? ans : ans + sum ;//负数取模
}int main(){scanf("%lld" , &n) ;for(long long i = 1;i <= n;++i){scanf("%lld%lld" , mod+i , num+i) ;}printf("%lld" , CRT()) ;return 0 ;
}
0x50 斐波那契数
斐波那契通项公式：
其他的部分会单独一篇blog详细解读。
0x60 卡特兰数
卡特兰数基本通项公式：
fn=1n+1C2nnf_n =\frac{1}{n+1}C_{2n}^nfn=n+11C2nn
为什么是基本公式？因为不同的题会对卡特兰数的计算产生不同的影响，虽然不同但不会产生大的变化。
基本特征：求方案数、对方案数产生一定限制。
具体例子会单独出一篇 blog 解释。
0x70 欧拉函数
0x71 欧拉函数的定义
定义：欧拉函数φ(n)的值等于序列0，1，2，…，n-1中与n互素的数的个数。
友情提示：φ（phiˋ）φ（ph\grave i）φ（phiˋ）
特别的，φ(1) = 1（和1互质的数(小于等于1)就是1本身）。
性质：
- 欧拉函数 φ(n * m) = φ(n) * φ(m)
（判定条件：n、m 互质） - 对于 质数 p，它的 欧拉函数φ（p）= p - 1
- 对于 奇数 n，φ（2 * n）= φ（n）
- 当 n = pk 时 ，φ（n）= pk - pk-1
- n 中 与 n 互质的数的和为φ（n）2∗n\frac{φ（n）}{2 * n}2∗nφ（n）（n > 1）
- φ（n）(n>2)φ（n）(n > 2)φ（n）(n>2)的值为偶数
- 若 p∣n且p2∣n，则φ(n)=φ(np)∗pp\mid n且p^2\mid n，则 φ(n)=φ(\frac{n}{p})*pp∣n且p2∣n，则φ(n)=φ(pn)∗p
- 若 p∣n且p2∤n，则φ(n)=φ(np)∗(p−1)p\mid n且p^2\nmid n，则 φ(n)=φ(\frac{n}{p})*(p-1)p∣n且p2∤n，则φ(n)=φ(pn)∗(p−1)
0x72 欧拉函数的线性筛法
该算法在可在线性时间内筛素数的同时求出所有数的欧拉函数。
需要用到如下性质(p为质数)：
φ ( p ) = p - 1 因为质数p除了1以外的因数只有p，故1至p的整数只有p与p不互质
如果i mod p = 0, 那么 φ(i * p) = p * φ(i)
若i mod p ≠0, 那么phi(i * p)=phi(i) * (p-1)
[i mod p 不为0且p为质数, 所以i与p互质, 那么根据欧拉函数的积性phi(i * p)=phi(i) * phi( p ) 其中phi( p )=p-1即第一条性质]
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std ;const int MAXN = 1e6 ;int phi[MAXN] ;
int prime[MAXN] ;
int tot ;
int ans = 0 ;
bool mark[MAXN] ;
int n ;inline void get_phi(){phi[1] = 1 ;for(int i = 2;i <= n;++i){if(mark[i] == false){prime[++tot] = i ;phi[i] = i - 1 ;}for(int j = 1;j <= tot;++j){if(i * prime[j] > MAXN)break ;mark[i * prime[j]] = true ;if(i % prime[j] == 0){phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j] ;break ;}elsephi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1) ;}}
}int main(){scanf("%d" , &n) ;get_phi() ;for(int i = 1;i <= n;++i){if(i % 11 == 0)printf("\n") ;printf("%d " , phi[i]) ;}return 0 ;
}
0x73 欧拉函数的使用
RSA算法
自己看吧考试又不考：RSA算法详解
欧拉函数对其他算法的优化
利用欧拉函数的积性函数 特性进行优化。
*注：积性函数：积性函数指对于所有 互质 的整数a和b有性质 f (ab) = f (a) * f (b)的 数论函数 。
证明：
∑d∣nφ(d)=n\sum\limits_{d\mid n}φ (d)=nd∣n∑φ(d)=n
参考资料：欧拉函数
欧拉函数的性质及证明
0x80 素数
0x81 威尔逊定理
若 p 为素数，则：
(p−1)!≡−1(modp)(p-1)! \equiv-1\pmod{p}(p−1)!≡−1(modp)
值得注意的是，威尔逊逆定理依旧成立。
证明很简单，这里不给出详细证明。
0x82 费马小定理
若 p 为素数，a为正整数，且 a ，p 互质，则：
ap−1≡1(modp)a^{p-1}\equiv1\pmod{p}ap−1≡1(modp)
将化简，可得：
ap≡a(modp)a^{p}\equiv a\pmod{p}ap≡a(modp)
这就是 费马小定理。
0x83 埃式筛法&线性筛法
埃式筛法 是一种近似于暴力的枚举方法，将比他大的质数倍的数累加起来判断最大值。
线性筛法 利用最大的因子筛掉了大部分的重复计算，去掉了多余的操作。
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std ;const int MAXN = 1e6 ;long long n ;inline long long read(){long long x = 0 ;long long y = 1 ;char c = getchar() ;while(c < '0' || c > '9'){if(c == '-')y = -1 ;c = getchar() ;}while(c <= '9' && c >= '0'){x = x * 10 + c - '0' ;c = getchar() ;}return x * y ;
}//埃式筛法——特点：空间小、码量少 [O(n * log log n)]
bool vis1[MAXN] ;
inline void Eratosthenes_primes(long long num){memset(vis1 , 0 , sizeof(vis1)) ;for(long long i = 2;i <= num;++i){if(vis1[i] == true)continue ;printf("%lld " , i) ;for(long long j = i;j <= num / i;++j)vis1[i * j] = true ;}
}//线性筛法——特点：时间快[O(n)]
long long prime[MAXN] ;
long long vis2[MAXN] ;
long long cnt = 0 ;
inline void primes(long long num){memset(vis2 , 0 , sizeof(vis2)) ;//最小质因子cnt = 0 ;//质数数量for(long long i = 2;i <= num;++i){if(vis2[i] == 0){vis2[i] = i ;prime[++cnt] = i ;}//给当前质数加上质因子for(long long j = 1;j <= cnt;++j){//i有比prime[j]更小的质因子，或者超出范围，停止循环if(prime[j] > vis2[i] || prime[j] > num / i)break ;//prime[j]是合数vis2[i * prime[j]]的最小质因子vis2[i * prime[j]] = prime[j] ;}}for(int i = 1;i <= cnt;++i)printf("%lld " , prime[i]) ;
}
int main(){n = read() ;Eratosthenes_primes(n) ;printf("\n") ;primes(n) ;return 0 ;
}
0x84 Millar-Rabin 素数测试
利用 费马小定理 反证素数
//时间复杂度：O(log n)
#include<iostream>
#include<cstdlib>
using namespace std ;long long n ;
inline long long read(){long long x = 0 ,y = 1 ;char c = getchar() ;while(c < '0' || c > '9'){if(c == '-')y = -1 ;c = getchar() ;}while(c >= '0' && c <= '9'){x = x * 10 + c - '0' ;c = getchar() ;}return x * y ;
}//快速幂
inline long long quick_pow(long long base , long long up , long long mod){long long res = 1 ;while(up){if(up & 1)res = (res % mod * base) % mod ;base = (base % mod) * base % mod ;up >>= 1 ;}return res ;
}inline bool Miller_Robbin(long long num){if(num == 0 || num == 1)return false ;if(num == 2)return true ;for(int i = 1;i <= 30;++i){//枚举30次，保证正确率int base = rand() % (num - 1) + 1 ;//生成随机枚举底数if(quick_pow(base , num-1 , num) != 1)//费马小定理return false ;}return true ;
}int main(){n = read() ;if(Miller_Robbin(n) == true)printf("YES") ;elseprintf("NO") ;return 0 ;
}
0x85 欧拉定理
内容：
若 a 、m 互质，则aφ(m)≡1(modm)a^{φ (m)}\equiv1\pmod{m}aφ(m)≡1(modm)
用途：
指数取模。【前提：p为质数！】
xymodpx^y\mod{p}xymodp可被化简为
xymodφ(p)modpx^{y\mod{φ (p)}}\mod{p}xymodφ(p)modp
0x86 Pollard Rho 求大数因子
//洛谷例题P4718
//没完全解决
//输出最大的质因子！！！！！
//可能需要__int128
#include <bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;int t;
long long max_factor, n;long long gcd(long long a, long long b) {if (b == 0) return a;return gcd(b, a % b);
}long long quick_pow(long long x, long long p, long long mod) { // 快速幂long long ans = 1;while (p) {if (p & 1) ans = (__int128)ans * x % mod;x = (__int128)x * x % mod;p >>= 1;}return ans;
}bool Miller_Rabin(long long p) { // 判断素数if (p < 2) return 0;if (p == 2) return 1;if (p == 3) return 1;long long d = p - 1, r = 0;while (!(d & 1)) ++r, d >>= 1; // 将d处理为奇数for (long long k = 0; k < 10; ++k) {long long a = rand() % (p - 2) + 2;long long x = quick_pow(a, d, p);if (x == 1 || x == p - 1) continue;for (int i = 0; i < r - 1; ++i) {x = (__int128)x * x % p;if (x == p - 1) break;}if (x != p - 1) return 0;}return 1;
}long long Pollard_Rho(long long x) {long long s = 0, t = 0;long long c = (long long)rand() % (x - 1) + 1;int step = 0, goal = 1;long long val = 1;for (goal = 1;; goal *= 2, s = t, val = 1) { // 倍增优化for (step = 1; step <= goal; ++step) {t = ((__int128)t * t + c) % x;//生成伪随机函数val = (__int128)val * abs(t - s) % x;if ((step % 127) == 0) {long long d = gcd(val, x);if (d > 1) return d;}}long long d = gcd(val, x);if (d > 1) return d;}
}void fac(long long x) {if (x <= max_factor || x < 2) return;if (Miller_Rabin(x)) { // 如果x为质数max_factor = max(max_factor, x); // 更新答案return;}long long p = x;while (p >= x) p = Pollard_Rho(x); // 使用该算法while ((x % p) == 0) x /= p;fac(x), fac(p); // 继续向下分解x和p
}int main() {scanf("%d", &t);while (t--) {srand((unsigned)time(NULL));max_factor = 0;scanf("%lld", &n);fac(n);if (max_factor == n) // 最大的质因数即自己printf("Prime\n");elseprintf("%lld\n", max_factor);}return 0;
}
参考资料：博客园
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