算法之最长公共子序列问题

一、问题描述

最长公共子序列（longest common sequence）。什么是子序列呢？即一个给定的序列的子序列，就是将给定序列中零个或多个元素去掉之后得到的结果。子序列每个元素的下标严格递增。

如上图，给定的字符序列： {a,b,c,d,e,f,g,h}，它的子序列示例： {a,c,e,f} 即元素b,d,g,h被去掉后，保持原有的元素序列所得到的结果就是子序列。同理，{a,h},{c,d,e}等都是它的子序列。

最长公共子序列（以下都简称LCS）即给定序列s1={1,3,4,5,6,7,7,8},s2={3,5,7,4,8,6,7,8,2}，s1和s2的相同子序列，且该子序列的长度最长，即是LCS。s1和s2的其中一个最长公共子序列是 {3,4,6,7,8}

二、问题分析

1.最优子结构：设有序列X=｛x1,x2,…,xm｝和Y=｛y1,y2,…,yn｝,它们的最长公共子序列是Z=｛z1,z2,…zk｝，则：

①若xm=yn，则zk=xm=yn，且Zk-1是Xm-1和Yn-1的最长公共子序列；

②若xm！=yn，且zk！=xm，则Z是Xm-1和Y的最长公共子序列；

③若xm！=yn，且zk！=yn，则Z是X和Yn-1的最长公共子序列；

其中Xm-1=｛x1,x2,…,xm-1｝，Yn-1=｛y1,y2,…,yn-1｝，Zk-1=｛z1,z2,…zk-1｝；

2.子问题的递归结构：c[i][j]记录序列Xi和Yj的最长公共子序列的长度；

#include <iostream>
using namespace std;
#define M 8
#define N 7//序列x长度xl+1，序列y长度yl+1，
//c[i][j]记录子序列Xi和Yj的最长公共子序列长度，
//b[i][j]记录c[i][j]的值是由哪一个子问题得到的
void LCSLength(int xl,int yl,char x[],char y[],int c[M][N],int b[M][N])
{for(int i=0;i<xl;i++){c[i][0]=0;b[i][0]=0;} //多了一行和一排表示序列x和y都是空序列的情况for(int i=0;i<yl;i++){c[0][i]=0;b[0][i]=0;}for(int i=1;i<xl;i++){for(int j=1;j<yl;j++){if(x[i-1]==y[j-1]){c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;b[i][j]=1;}else {c[i][j]=c[i-1][j];int t = c[i][j-1];if(c[i][j]<t){c[i][j]=t;b[i][j]=2;}else b[i][j]=3;}}}
}void LCS(int i,int j,char x[],int b[M][N])
{if(i==0||j==0)return;if(b[i][j]==1){LCS(i-1,j-1,x,b);cout<<x[i-1]<<" ";}else if(b[i][j]==2)LCS(i,j-1,x,b);else LCS(i-1,j,x,b);
}int main()
{char x[]={'A','B','C','B','D','A','B'},y[]={'B','D','C','A','B','A'};int c[M][N],b[M][N];LCSLength(M,N,x,y,c,b);for(int i=0;i<M;i++){for(int j=0;j<N;j++)cout<<c[i][j]<<" ";cout<<endl;}LCS(M-1,N-1,x,b);
}

复杂性分析：O(n^2)；

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