最长公共子序列和最长公共子串区别

       最长公共子串（Longest Common Substring）与最长公共子序列（Longest Common Subsequence）的区别： 子串要求在原字符串中是连续的，而子序列则只需保持相对顺序一致，并不要求连续。例如X = {a, Q, 1, 1}; Y = {a, 1, 1, d, f}那么，{a, 1, 1}是X和Y的最长公共子序列，但不是它们的最长公共字串。

一、最长公共子序列

具体的算法思想参考以下文章：

http://blog.csdn.net/lisonglisonglisong/article/details/41548557

http://blog.csdn.net/zhongkeli/article/details/8847694

只求最长子序列长度

如果仅仅需要知道最长子序列的长度值，代码如下：

[cpp] view plain copy

1. #include <vector>
2. #include <string>
3. #include <iostream>
4. #include <string.h>
5. #include <sstream>
6. using namespace std;
7. //最长公共子串（LCS）
8. //二维数组veca记录的是两个字符串Xi和Yj的LCS长度
9. int LCS_length(const string &str1, const string &str2, vector<vector<int> > &veca) {
10. int i, j;
11. int biggest = 0;
12. if (str1 == "" || str2 == "")
13. return 0;
14. for (i = 0; i <= str1.length(); i++) {    //初始化veca[][]
15. veca[i][0] = 0;
16. }
17. for (j = 0; j <= str2.length(); j++) {  ////初始化veca[][]
18. veca[0][j] = 0;
19. }
20. for (i = 1; i <= str1.length(); i++) {
21. for (j = 1; j <= str2.length(); j++) {
22. if (str1[i - 1] == str2[j - 1]) {
23. veca[i][j] = veca[i - 1][j - 1] + 1;
24. }
25. else {
26. if (veca[i - 1][j] >= veca[i][j - 1])
27. veca[i][j] = veca[i - 1][j];
28. else
29. veca[i][j] = veca[i][j-1];
30. }
31. }
32. }
33. return veca[str1.length()][str2.length()];
34. }
35. int main() {
36. string input;
37. getline(cin, input);
38. stringstream ss(input);
39. string str1, str2;
40. ss >> str1;
41. ss >> str2;
42. //将veca初始化为一个二维数组,其行列值分别为str1和str2的长度加1
43. //二维数组veca记录的是两个字符串Xi和Yj的LCS长度
44. vector<vector<int> > veca(str1.length() + 1, vector<int>(str2.length() + 1));
45. cout << LCS_length(str1, str2, veca) << endl;
46. return 0;
47. }

结果：

动态规划解决LCS问题的时间复杂度为 O(mn)，这比简单的递归实现要快多了。空间复杂度是O(mn)，因为使用了一个动态规划表。

要输出一个LCS的内容

和上面的程序比，只需要多一个二维数组记录在遍历中所选择的子问题的最优解即可。如下程序：

[cpp] view plain copy

1. //输出最长公共子串（LCS）
2. //二维数组veca记录的是两个字符串Xi和Yj的LCS长度
3. int LCS_length(const string &str1, const string &str2,
4. vector<vector<int> > &veca, vector<vector<int> > &vecb) {
5. int i, j;
6. int biggest = 0;
7. if (str1 == "" || str2 == "")
8. return 0;
9. for (i = 0; i <= str1.length(); i++) {
10. veca[i][0] = 0;
11. }
12. for (j = 0; j <= str2.length(); j++) {
13. veca[0][j] = 0;
14. }
15. for (i = 1; i <= str1.length(); i++) {
16. for (j = 1; j <= str2.length(); j++) {
17. //如果Xi-1 == Yj-1，那么最长子序列为veca[i - 1][j - 1] + 1
18. //此时将vecb[i][j] = 1表明str1[i-1]是子问题LCS的一个元素
19. if (str1[i - 1] == str2[j - 1]) {
20. veca[i][j] = veca[i - 1][j - 1] + 1;
21. vecb[i][j] = 1;
22. }
23. else {
24. if (veca[i - 1][j] >= veca[i][j - 1]) {
25. veca[i][j] = veca[i - 1][j];
26. vecb[i][j] = 2;
27. }
28. else {
29. veca[i][j] = veca[i][j-1];
30. vecb[i][j] = 3;
31. }
32. }
33. }
34. }
35. return veca[str1.length()][str2.length()];
36. }
37. //该函数用于输出一个LCS的序列
38. //这里输出的顺序是先向上寻找，再向左寻找
39. void PrintOneLCS(vector<vector<int> > &vecb, string &str1, int i, int j) {
40. if (i == 0 || j == 0)
41. return;
42. if (vecb[i][j] == 1) {
43. PrintOneLCS(vecb, str1, i - 1, j - 1);
44. cout << str1[i - 1] << " ";
45. }
46. else if (vecb[i][j] == 2)
47. PrintOneLCS(vecb, str1, i -1, j);
48. else
49. PrintOneLCS(vecb, str1, i, j - 1);
50. }
51. int main() {
52. string input;
53. getline(cin, input);
54. stringstream ss(input);
55. string str1, str2;
56. ss >> str1;
57. ss >> str2;
58. //将veca初始化为一个二维数组,其行列值分别为str1和str2的长度加1
59. //二维数组veca记录的是两个字符串Xi和Yj的LCS长度
60. //二维数组vecb[i][j]记录veca[i][j]时所选择的子问题的最优解
61. vector<vector<int> > veca(str1.length() + 1, vector<int>(str2.length() + 1));
62. vector<vector<int> > vecb(str1.length() + 1, vector<int>(str2.length() + 1));
63. cout << LCS_length(str1, str2, veca, vecb) << endl;
64. PrintOneLCS(vecb, str1, str1.length(), str2.length());
65. return 0;
66. }

求一个LCS内容也可以不借助辅助二维数组vecb而是用下面小节的方法，

[cpp] view plain copy

1. //该函数用于输出一个LCS的序列，使用下一小节的方法
2. //这里输出的顺序是先向左寻找，再向上寻找
3. void PrintOneLCS(string &str1, string &str2, int i, int j,
4. vector<vector<int> > &veca) {
5. string lcs_str;
6. while (i > 0 && j > 0) {
7. if (str1[i - 1] == str2[j - 1]) {
8. lcs_str = str1[i - 1] + lcs_str;
9. --i;
10. --j;
11. }
12. else {
13. //如果左边存在LCS就从左边找否则再从右边找
14. if (veca[i - 1][j] >= veca[i][j - 1])
15. --i;
16. else
17. --j;
18. }
19. }
20. cout << lcs_str << endl;
21. }

如下代码：

要输出所有LCS的内容

两个字符串对应的最长公共子序列不一定唯一，这个程序输出所有的LCS内容。

基本思想是：

具体参考文章：http://blog.csdn.net/lisonglisonglisong/article/details/41596309

代码：

[cpp] view plain copy

1. #include <vector>
2. #include <iomanip>
3. #include <set>
4. #include <string>
5. #include <map>
6. #include <iostream>
7. #include <string.h>
8. #include <sstream>
9. using namespace std;
10. set<string> all_lcs; //注意这里要用set去除重复的LCS
11. //最长公共子串（LCS）
12. //二维数组veca[i][j]记录的是两个字符串Xi和Yj的LCS长度
13. int LCS_length(const string &str1, const string &str2, vector<vector<int> > &veca) {
14. int i, j;
15. int biggest = 0;
16. if (str1 == "" || str2 == "")
17. return 0;
18. for (i = 0; i <= str1.length(); i++) {
19. veca[i][0] = 0;
20. }
21. for (j = 0; j <= str2.length(); j++) {
22. veca[0][j] = 0;
23. }
24. for (i = 1; i <= str1.length(); i++) {
25. for (j = 1; j <= str2.length(); j++) {
26. if (str1[i - 1] == str2[j - 1]) {
27. veca[i][j] = veca[i - 1][j - 1] + 1;
28. }
29. else {
30. if (veca[i - 1][j] >= veca[i][j - 1])
31. veca[i][j] = veca[i - 1][j];
32. else
33. veca[i][j] = veca[i][j-1];
34. }
35. }
36. }
37. return veca[str1.length()][str2.length()];
38. }
39. //该函数找出所有的LCS的序列，并将其存在vector中
40. void PrintAllLCS(string &str1, string &str2, int i, int j,
41. vector<vector<int> > &veca, string lcs_str) {
42. //注意这里形参lcs_str不可以为引用，这里需要每次调用lcs_str都重新生成一个对象
43. while (i > 0 && j > 0) {
44. if (str1[i - 1] == str2[j - 1]) {
45. lcs_str = str1[i - 1] + lcs_str; //逆向存放
46. --i;
47. --j;
48. }
49. else {
50. if (veca[i - 1][j] > veca[i][j - 1]) //向左走
51. --i;
52. else if (veca[i - 1][j] < veca[i][j - 1]) //向上走
53. --j;
54. else { //此时向上向右均为LCS的元素
55. PrintAllLCS(str1, str2, i - 1, j, veca, lcs_str);
56. PrintAllLCS(str1, str2, i, j - 1, veca, lcs_str);
57. return;
58. }
59. }
60. }
61. cout << "   " << lcs_str << endl;
62. all_lcs.insert(lcs_str);
63. }
64. int main() {
65. string input;
66. getline(cin, input);
67. stringstream ss(input);
68. string str1, str2;
69. ss >> str1;
70. ss >> str2;
71. //将veca初始化为一个二维数组,其行列值分别为str1和str2的长度加1
72. //二维数组veca记录的是两个字符串Xi和Yj的LCS长度
73. vector<vector<int> > veca(str1.length() + 1, vector<int>(str2.length() + 1));
74. cout << LCS_length(str1, str2, veca) << endl;
75. string lcs_str;
76. PrintAllLCS(str1, str2, str1.length(), str2.length(), veca, lcs_str);
77. set<string>::iterator iter = all_lcs.begin();
78. while (iter != all_lcs.end()) {
79. cout << *iter++ << endl;
80. }
81. return 0;
82. }

如图所示的两个字符串共有三个LCS。

二、最长公共子串

描述：

计算两个字符串的最大公共子串（Longest Common Substring）的长度，字符不区分大小写。

输入：

输入两个字符串

输出：

输出一个整数

样例输入：

asdfas werasdfaswer

样例输出：

6

这里的最大公共字串要求的字串是连续的。

求字串的方法和求子序列方法类似：

当str1[i] == str2[j]时，子序列长度veca[i][j] = veca[i - 1][j - 1] + 1；只是当str1[i] ！= str2[j]时，veca[i][j]长度要为0，而不是max{veca[i - 1][j], veca[i][j - 1]}。

[cpp] view plain copy

1. #include <vector>
2. #include <string>
3. #include <iostream>
4. #include <string.h>
5. #include <sstream>
6. using namespace std;
7. int LCS_length(const string &str1, const string &str2, vector<vector<int> > &veca) {
8. int i, j;
9. int biggest = 0;
10. if (str1 == "" || str2 == "")
11. return 0;
12. for (i = 0; i <= str1.length(); i++) {
13. veca[i].resize(str2.length() + 1, 0);
14. }
15. for (j = 0; j <= str2.length(); j++) {
16. veca[0][j] = 0;
17. }
18. for (i = 1; i <= str1.length(); i++) {
19. for (j = 1; j <= str2.length(); j++) {
20. if (str1[i - 1] == str2[j - 1]) {
21. veca[i][j] = veca[i - 1][j - 1] + 1;
22. if (veca[i][j] > biggest)
23. biggest = veca[i][j];
24. }
25. else
26. //可以看出，求最长子串和求最长子序列差别仅仅在这里
27. veca[i][j] = 0;
28. }
29. }
30. return biggest;
31. }
32. int main() {
33. string input;
34. getline(cin, input);
35. stringstream ss(input);
36. string str1;
37. ss >> str1;
38. string str2;
39. ss >> str2;
40. vector<vector<int> > veca(str1.length() + 1);
41. cout << LCS_length(str1, str2, veca) << endl;
42. return 0;
43. }

同样适用求最长子序列的测试数据，得到它们的公共最长子串长度为2，而它们的公共最长子序列长度为4.

三、动态规划的其它题目

1、硬币面值组合问题

http://www.cnblogs.com/python27/archive/2013/09/05/3303721.html

2、最长递增子序列

除了动态规划，该题还有其他解法。

3、数组最大子数组和的最大值

http://www.ahathinking.com/archives/120.html

3、动态规划之钢条分割

4、计算两个字符串的相似度（编程之美）

该文章原理说得比较清楚：点击打开链接

这里是代码：点击打开链接

5、求每一对顶点之间的最短路径：Floyd-Warshall算法

转自：https://blog.csdn.net/u013074465/article/details/45392687

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