蓝桥杯 结果填空 正六面体染色 Burnside引理
正六面体用4种颜色染色。
共有多少种不同的染色样式？
要考虑六面体可以任意旋转、翻转。
参考答案：
240
可以想象，这道题如果编程的话，代码不会很少，关键是也没啥思路，其实组合数学早就给我们提供了数学工具，就是burnside引理（已下内容参考维基百科）
伯恩赛德引理
伯恩赛德引理（Burnside's lemma），也叫伯恩赛德计数定理（Burnside's counting theorem），柯西-弗罗贝尼乌斯引理（Cauchy-Frobenius lemma）或轨道计数定理（orbit-counting theorem），是群论中一个结果，在考虑对称的计数中经常很有用。该结论被冠以多个人的名字，其中包括威廉·伯恩赛德（William Burnside）、波利亚、柯西和弗罗贝尼乌斯。这个命题不属于伯恩赛德自己，他只是在自己的书中《有限群论 On the Theory of Groups of Finite Order》引用了，而将其归于弗罗贝尼乌斯 (1887)[1]。
下文中，设 
是一个有限群，作用在集合 
上。对每个 
属于 令 
表示 中在 作用下的不动元素。伯恩赛德引理断言轨道数（记作 
）由如下公式给出：[2]
从而轨道数（是一个自然数或无穷）等于被 G 中一个元素保持不动的点个数的平均值（故同样是自然数或无穷）。
也许你并没有看懂到底说的是什么，其实我也看不大懂，群这一部分是在离散数学中学过，不过不是很详细，有个大概的概念，我们需要知道的是下面这个应用：
使用三种颜色对立方体的面染色，旋转后相同的视为一种，染色方式总数可以由这个公式确定。
选取一个定向，设 X 是这个定向立方体所有 36 种可能面染色组合，立方体的旋转群自然作用在 X 上。则 X 的两个元素属于同一轨道恰好是一个是另一个的旋转。旋转不同的染色数就是轨道数，可以通过数 G 的 24 个元素的不动集合的大小求出来。
- 这些自同构的详细检验可参见循环指标（Cycle index）一文。六个 90 度面旋转，每一个保持 X 的 33 个元素不变。
- 六个 90 度面旋转，每一个保持 X 的 33 个元素不变。
- 三个 180 度面旋转，每一个保持 X 的 34 个元素不变。
- 八个 120 度顶点旋转，每一个保持 X 的 32 个元素不变。
- 六个 180 度边旋转，每一个保持 X 的 33 个元素不变。
这样，平均不动集合的大小是
从而有 57 种旋转不同的立方体面 3 色染色方式。一般地，使用 n 种颜色，立方体不同的旋转面染色数是
-
<-----千百句话语就是这个公式，将4带入，就可以求出结果
-
证明
定理的证明利用轨道-中心化子定理以及 X 是轨道的不交并的事实：
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