狐狸与兔子数学模型的论文

狐狸与野兔(捕食者与被捕食者)问题

摘要

在生态系统中，捕食与被捕食的关系无处不在，它们相互依存，相互制约，在自然选择的条件下，只要经过足够长的时间，物种的数量关系就会达到动态的平衡，而这种平衡与初始状态下各物种的数量无关。本文研究的是狐狸与野兔两个物种的关系，题目中已经给出了两个物种的变化率之间的关系，直接解出即可看出狐狸与野兔两个物种的数量关系，但已知的微分方程组不能直接解出解析解，因此，我们用“组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法”求给定微分方程的数值解，在给出初值：狐狸300只，野兔800只的情况下，用MATLAB软件进行计算，然后通过狐狸和野兔数量的图像确定狐狸和野兔的数量关系：狐狸的数量随着野兔数量的增加而增加，而野兔的数量又随着狐狸的增加而减少，经过自然界的反馈作用，狐狸的数量又随着野兔数量的减少而减少，进一步，野兔的数量又会随着狐狸的减少而增加，它们的关系就这样循环，最后直至平衡，达到稳定状态。

在平衡状态下，狐狸和野兔的数量保持不变，因而它们的变化率应该为0，所以直接令微分方程等于0，解得平衡状态下：狐狸200只，野兔900只。

在没有人类捕猎的条件下，野兔数量的变化率为，可见狐狸对野兔的捕捉量与狐狸和野兔的数量乘积成正比，比例系数为0.02。同理，如果考虑人类对野兔的捕猎，可假设“人类对野兔的捕捉量与人类和野兔的数量乘积成正比，比例系数为a”，在这种情况下，达到平衡时野兔的数量没有变化，狐狸的数量有所减少。

根据以上思路，如果考虑人类对狐狸进行捕猎，可假设“人类对狐狸的捕捉量与人类和狐狸的数量乘积成正比，比例系数为b”，在这种情况下，达到平衡时狐狸的数量没有变化，野兔的数量有所增加。

关键词：组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法 滞后 反馈作用 MATLAB 自然平衡

一、问题重述

在一个封闭的大草原里生长着狐狸和野兔。在大自然的和谐的坏境中，野免并没有因为有狐狸的捕食而灭绝。因为每一种动物都有它们特有的技巧来保护自己。设t时刻它们的数量分别为y(t)和x(t)，已知满足以下微分方程组

(1)??? 分析这两个物种的数量变化关系。

(2)??? 在什么情况下狐狸和野兔数量出现平衡状态？

(3)?? 建立另一个微分方程来分析人们对野兔进行捕猎会产生什么后果？对狐狸进行捕猎又会产生什么后果？

二、问题分析

自然状态下，影响一个物种数量的因素很多，比如：自然选择、气候变化、自然灾害、物种的食物，物种的天敌，而本题中物种的数量变化只考虑部分因素：物种的食物或物种的天敌，即捕食者与被捕食者。

先考虑理想状态，人类没有对物种进行捕猎，只考虑狐狸和野兔的数量变化关系，我们可以得知,狐狸和野兔的数量相互制约，相互依存，经过足够长的时间达到一种动态平衡。然后考虑自然状态，人类对物种进行捕猎，人类对野兔进行捕猎，根据常识知，野兔的变化率会随着人类的捕获而相应减少，假设狐狸的变化率不会因为人类捕食野兔而改变，据此我们建立另一个微分方程组，由此方程组来分析人类对野兔进行捕猎会产生的后果；同样地，人类对狐狸进行捕猎，根据常识知，狐狸的变化率会随着人类的捕获而相应减少，假设野兔的变化率不会因为人类捕食狐狸而改变，据此我们建立另一个微分方程组，由此方程组来分析人类对狐狸进行捕猎会产生的后果。我们还可以通过此模型来控制对野兔或狐狸的捕获量，使所要求物种的数量达到最大，也可以使其增长率达到最大。

三、模型假设

假设该生态系统中不存在其他生物的影响，即：前两问只有狐狸和野兔之间的捕食和被捕食的关系，最后一问再考虑上人类对野兔或者狐狸的捕猎因素；

假设野兔的食物充足；

假设人类捕捉野兔时，狐狸的变化率不受人类活动的影响；

假设人类捕捉狐狸时，野兔的变化率不受人类活动的影响；

假设初始状态下狐狸和野兔的数量为300和800只。

假设人的数量不因狐狸和野兔的数量变化，即为常数，设为R。

四、模型建立与求解

1. 对于给定的微分方程：

很难求出其解析解，我们在给定初值的情况下采用“3阶龙格-库塔算法”，其数值解并做出狐狸和野兔数量变化的图像。

“3阶龙格-库塔算法”：

令

我们采用的三阶R-K方法为：

其中：

利用MATLAB软件求解原方程的数值解，并得到狐狸和野兔数量随时间的变化图像为：

图1 狐狸和野兔的数量随时间的变化情况

从图像可以看出，短时间内，狐狸的数量会随着野兔的数量的减少而减少、随野兔的数量的增加而增加，但存在“滞后”现象，即狐狸和野兔的数量变化不是同步的，狐狸数量的变化要滞后于野兔数量的变化。而且，当狐狸的数量减少后，野