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2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承 诺 书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料)，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

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我们参赛选择的题号是(从A/B/C/D中选择一项填写)： A

我们的参赛报名号为(如果赛区设置报名号的话)：

所属学校(请填写完整的全名)：

参赛队员 (打印并签名) ：1.

2.

3.

指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：

日期： 2011 年 07 月 30 日2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编 号 专 用 页

赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号)：

赛区评阅记录(可供赛区评阅时使用)：

评

阅

人

评

分

备

注

全国统一编号(由赛区组委会送交全国前编号)：

全国评阅编号(由全国组委会评阅前进行编号)：

狐狸野兔问题

摘要

封闭自然环境中的狐狸和野兔存在捕食与被捕食关系，本题旨在通过对自然状态下两物种数量变化规律的分析，推测加入人类活动(即人工捕获)时两物种数量的变化，进而得出人类活动对自然物种的影响，为人类活动提供参考，使其在自然允许的范围内，促进人与自然和谐相处。

对于问题一，首先建立微分方程，描述两物种数量随时间变化的Volterra模型

并用解析法求得狐狸与野兔数量的关系

为直观反映两物种数量随时间的变化规律，选取三组有代表性的初值，利用Matlab软件绘图。在狐狸和野兔随时间的变化图像中，大致得出其数量呈周期变化，为进一步检验周期性，再用 Matlab绘图做出狐狸与野兔数量的关系图，得到封闭曲线，因此分析结果为：狐狸和野兔的数量都呈现周期性的变化，但不在同一时刻达到峰值。

对于问题二，利用数值解法，令模型中两式皆为0，即求得狐狸和野兔数量的平衡状态。且由问题一中狐狸与野兔数量的关系图知野兔和狐狸的平衡量恰为他们在一个周期内的平均值Volterra模型基础上引入人工捕获系数。

只捕获野兔时，野兔的自然增长率降低，狐狸自然死亡率增加，改进后模型同问题二处理方式一样，求得平衡状态，得出结论：捕获野兔时，狐狸数量减少，野兔数量反而增加，即Volterra原理：为了减少强者，只需捕获弱者。

只捕获狐狸时，分析方法与只捕获野兔时相同，并得出野兔狐狸数量皆增加的结论。

问题三为自然界人类捕获生物提供了新的思路，即可以在正常允许范围内，为了达到减少某一种群数量的目的，相应的捕获其食饵，或适度地捕获捕食者使捕食者与被捕食者的数量都有所增加。

关键词：Volterra模型 Matlab软件 解析法 周期性

一、问题重述

在一个封闭的大草原里生长着狐狸和野兔。在大自然的和谐的坏境中，野免并没有因为有狐狸的捕食而灭绝。因为每一种动物都有它们特有的技巧来保护自己。设时刻它们的数量分别为和,已知满足以下微分方程组

??分析这两个物种的数量变化关系。

(2)???在什么情况下狐狸和野兔数量出现平衡状态？

(3)??? 建立另一个微分方程来分析人们对野兔进行捕猎会产生什么后果？对狐狸进行捕猎又会产生什么后果？

二、模型假设

题目所给数据真实有效，野兔有充分的食物，狐狸只以野兔为食物；

自然状态下，野兔独立生存时的相对增长率为正常数；

自然状态下，狐狸独立生存时的相对增长率为负常数；

野兔由于狐狸的存在使增长率降低，降低的程度与狐狸数量成正比；

狐狸由于野兔为其提供食物使死亡率降低或使之增长，增长的程度与野兔的数量成正比；

人工捕获不会影响野兔对狐狸的供养能力和狐狸对野兔的捕获能力。

三、定义与符号说明

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