1.有界集的内外测度

1.1 开集的长度及其主要性质

1.设G为非空开集,G=⋃k(αk,βk),(αk,βk)G=\bigcup_{k}(\alpha_k,\beta_k),(\alpha_k,\beta_k)G=k⋃(αk,βk),(αk,βk)为G的构成区间,诸((αk,βk)((\alpha_k,\beta_k)((αk,βk)互不相交,规定G的长度L((G)为L(G)=∑k(βk−αk)L(G)=\sum_{k}(\beta_k-\alpha_k)L(G)=k∑(βk−αk)并规定空集的长度为0.
2.开集的长度具有单调性:设G1G_1G1,G2G_2G2为有界开集,G1⊂G2G_1\subset G_2G1⊂G2,则L(G1)≤L(G2)L(G_1)\leq L(G_2)L(G1)≤L(G2).
3.次可加性:设有界开集G是有限或可列个开集G1,G2,......G_1,G_2,......G1,G2,......的并,L(G)≤∑kL(Gk)L(G)\leq {\sum_{k}L(G_k)}L(G)≤∑kL(Gk).
4.完全可加性:如诸GkG_kGk互不相交,则L(G)=∑kL(Gk)L(G)={\sum_{k}L(G_k)}L(G)=k∑L(Gk).

1.2 闭集的长度及其主要性质

1.设F为非空有界闭集,任取包含F的开区间(a,b),令G=(a,b)-F,则G为开集,定义b−a−L(G)b-a-L(G)b−a−L(G)为闭集F的长度,记为L(F).
2.设F为有界闭集,G为有界开集,F⊂GF\subset GF⊂G,则L(G−F)=L(G)−L(F)L(G-F)=L(G)-L(F)L(G−F)=L(G)−L(F)

1.3 有界集的内外测度

1.设E为有界集,定义E的外测度m∗Em^*Em∗E与内测度m∗Em_*Em∗E为m∗E=inf{L(G);G⊃E,G是开集}m^*E=inf \lbrace L(G);G\supset E,G是开集 \rbracem∗E=inf{L(G);G⊃E,G是开集} m∗E=sup{L(F);F⊂E,F是闭集}m^*E=sup \lbrace L(F);F\subset E,F是闭集 \rbracem∗E=sup{L(F);F⊂E,F是闭集}
2.内外测度具有:(1)非负性m∗E≥0m^*E \geq0m∗E≥0,m∗E≥0m_*E\geq 0m∗E≥0.
　　　　　　　(2)单调性:E1⊃E2,m∗E1≥m∗E2+m∗E1≥m∗E2E_1 \supset E_2,m^*E_1\geq m^*E_2+m_*E_1\geq m_*E_2E1⊃E2,m∗E1≥m∗E2+m∗E1≥m∗E2
　　　　　　　(3)次可加性:m∗(⋃kEk)≤∑km∗Ek;m∗(⋃kEk)≥∑km∗Ekm^*(\bigcup_{k}E_k)\leq \sum_{k}m^*E_k;m_*(\bigcup_{k}E_k)\geq \sum_{k}m_*E_km∗(k⋃Ek)≤k∑m∗Ek;m∗(k⋃Ek)≥k∑m∗Ek

1.4 测度和可测集的定义

1.设E是有界集,若m∗E=m∗Em^*E=m_*Em∗E=m∗E,则称E为勒贝格可测集,简称可测集,可测集的外测度称为测度,记为mE.

2.可测集的性质

2.1 可测集与开集闭集之间的关系

1.有界集E是可测集 ⟺ ∀ε>0,∃开集G及闭集F,使G⊃E⊃F,m(G−F)<ε有界集E是可测集\iff \forall \varepsilon>0,\exists 开集G及闭集F,使G \supset E \supset F,m(G-F)<\varepsilon有界集E是可测集⟺∀ε>0,∃开集G及闭集F,使G⊃E⊃F,m(G−F)<ε.

2.2 可测集关于"并"“交”"余"运算的封闭性

1.(1)E是可测集 ⟺ Ec\iff E^c⟺Ec是可测集(设X=(a,b)).
(2)若E1,E2E_1,E_2E1,E2是可测集,则E1⋃E2,E1⋂E2,E1−E2E_1\bigcup E_2,E_1\bigcap E_2,E_1-E_2E1⋃E2,E1⋂E2,E1−E2均为可测集.

2.3 测度的单调性,可加性与连续性

1.设E1,E2,.....,EnE_1,E_2,.....,E_nE1,E2,.....,En为有限个互不相交的可测集,则E=⋃k=1nEiE=\bigcup_{k=1}^{n}E_iE=k=1⋃nEi为可测集,且mE=∑k=1nmEkmE=\sum_{k=1}^{n}mE_kmE=k=1∑nmEk
2.(1)测度的单调性:设E1,E2是两个可测集,E1⊂\subset⊂E2,则mE1≤\leq≤mE2.
(2)测度的完全科技与半可加性:设{EkE_kEk}是一列可测集,则E=⋃kEkE=\bigcup_{k}E_kE=⋃kEk是可列集且mE≤∑k=1nmEkmE\leq \sum_{k=1}^{n}mE_kmE≤k=1∑nmEk若{EkE_kEk}为互不相交的可测集,则mE=∑k=1nmEkmE=\sum_{k=1}^{n}mE_kmE=k=1∑nmEk.
3.测度的连续性:
(1)设E1⊂E2⊂........En⊂......E_1\subset E_2\subset ........E_n\subset ......E1⊂E2⊂........En⊂......是X=(a,b)X=(a,b)X=(a,b)中的渐张可测列,则m(lim⁡nEn)=lim⁡nEnm(\lim_{n} E_n)=\lim_{n}E_nm(limnEn)=limnEn
(2)设E1⊃E2⊃........En⊃......E_1\supset E_2\supset ........E_n\supset ......E1⊃E2⊃........En⊃......是X=(a,b)X=(a,b)X=(a,b)中的渐缩可测列,则m(lim⁡nEn)=lim⁡nEnm(\lim_{n} E_n)=\lim_{n}E_nm(limnEn)=limnEn

3.Borel集

1.若G可表示为可列个开集的交集,则称G为GδG_\deltaGδ集;若F可表为可列个闭集的并集,则称F为FσF_\sigmaFσ集.
2.设E为可测集,则
(1)∃Gδ\exists G_\delta∃Gδ集G⊃EG\supset EG⊃E,使mG=mEmG=mEmG=mE.
(2)∃Fσ\exists F_\sigma∃Fσ集G⊂EG\subset EG⊂E,使mF=mEmF=mEmF=mE.
3.E为可测集 ⟺ ∃Gδ\iff \exists G_\delta⟺∃Gδ集G⊃EG \supset EG⊃E或FσF_\sigmaFσ集F⊂EF \subset EF⊂E,使m∗(G−F)=0m^*(G-F)=0m∗(G−F)=0或m∗(E−F)=0m^*(E-F)=0m∗(E−F)=0.
4.凡可以从开集出发,经有限次或可列次取余集,并集,或交集运算而得到的点集称为Borel集,所有Borel集组成的集类称为Borel集类.

4 可测集的卡拉德屋独利条件

1.设E⊂(a,b),Ec=(a,b)−EE \subset(a,b),E^c=(a,b)-EE⊂(a,b),Ec=(a,b)−E,则有m∗E+m∗Ec=b−am_*E+m^*E^c=b-am∗E+m∗Ec=b−a
2.有界集E为可测集 ⟺ \iff⟺对任意集A有m∗A=m∗(A∪E)+m∗(A+Ec)m^*A=m^*(A\cup E)+m^*(A+E^c)m∗A=m∗(A∪E)+m∗(A+Ec)
3,设E是直线上任一点集,若{lnl_nln}是一列覆盖E的开区间,显然这样的覆盖可以很多种,记|lnl_nln|为开区间lnl_nln的长度,则定义E的外测度为:m∗E=inf{∑n=1∞∣ln∣;∀⋃n=1∞In⊃E}m^*E=inf\lbrace\sum_{n=1}^{\infty}|l_n|;\forall \bigcup_{n=1}^{\infty}I_n\supset E\rbracem∗E=inf{n=1∑∞∣ln∣;∀n=1⋃∞In⊃E}
4.设E⊂RE\subset RE⊂R,若对任意A⊂RA\subset RA⊂R有m∗A=m∗(A∪E)+m∗(A+Ec)m^*A=m^*(A\cup E)+m^*(A+E^c)m∗A=m∗(A∪E)+m∗(A+Ec),则称E为勒贝格可测集,简称可测集,此时外测度m∗Em^*Em∗E称为E的测度,记为mE.

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