《计算之魂》阅读笔记 02

1.3 怎样寻找最好的算法
- 例题 1.3
- - 方法一：三重循环
  - 方法二：二重循环
  - 方法三：分而治之
  - 方法四：正反扫描
- 【思考题 1.3.1】
- 【思考题 1.3.2】
- 【思考题 1.3.3】
总结
参考资料

1.3 怎样寻找最好的算法

例题 1.3

给定一个实数序列，设计一个最有效的算法，找到一个总和最大的区间
- 如序列：1.5, −12.3, 3.2, −5.5, 23.2, 3.2, −1.4, −12.2, 34.2, 5.4, −7.8, 1.1, −4.9
- 总和最大的区间：从第5个数 23.2 到第10个数 5.4
- 另一种表述：寻找一只股票的有效增长期

方法一：三重循环

假设：
- 这个序列有 K 个数： a 1 , a 2 , . . . , a K \bm{a_{1}, a_{2}, ..., a_{K}} a1,a2,...,aK
- 选取区间为： [ p , q ] \bm{[p, q]} [p,q]
- 区间内的数字总和： S ( p , q ) = a p + a p + 1 + . . . + a q \bm{S(p,q)} = a_{p} + a_{p+1} + ... + a_{q} S(p,q)=ap+ap+1+...+aq
其中：
1. p ∈ [ 1 , K ] \bm{p} ∈ [1, K] p∈[1,K]
2. q ∈ [ p , K ] \bm{q} ∈ [p, K] q∈[p,K]
3. 每一对 [ p , q ] \bm{[p, q]} [p,q] 组合平均要做 K / 3 \pmb{K / 3} K/3K/3 次加法
- 综上，时间复杂度是 O ( n 3 ) \pmb{O(n^3)} O(n3)O(n3)

注意：这里第3点，每对组合平均要做的加法次数，原文给的是 K / 4 K / 4 K/4（有误），勘误如下：

证明：参考大牛思路，可用数学归纳法，如下：

方法二：二重循环

记录三个中间值：
1. 从 p 到当前位置 q 的总和 S ( p , q ) \bm{S(p,q)} S(p,q)
2. 从 p 到当前位置 q 所有总和中的最大值 Max
3. 区间结束的位置 r
示例：
- 假设区间起点 p = 500，这时 S(500,500) = a₅₀₀，Max = a₅₀₀，r = 500
- 遇到 a₅₀₁ 后，根据 a₅₀₁ 是否大于0 决定 是否更新 q、Max 和 r
- 以此类推，继续往后扫描
分析：
1. p ∈ [ 1 , K ] p ∈ [1, K] p∈[1,K]，有 K 种取法
2. ∀ p ∈ [ 1 , K ] \bm{\forall} p ∈ [1, K] ∀p∈[1,K]，需要从头到尾试 K-p 次
- 综上，时间复杂度是 O ( n 2 ) \pmb{O(n^2)} O(n2)O(n2)

方法三：分而治之

方法：
- 将序列一分为二： [ 1 , K / 2 ] [1,K/2] [1,K/2]， [ K / 2 , K ] [K/2, K] [K/2,K]
- 分别求两个子序列的总和最大区间 A、B
- 用 递归算法 求每个子序列的总和最大区间
结论：
- 如果 A、B 间没有间隔，且区间总和均为正整数，则整个序列的总和最大区间就是 [ p , q ] \bm{[p, q]} [p,q]
- 如果 A、B 间有间隔，假设 A = [ p 1 , q 1 ] A=[p_{1}, q_{1}] A=[p1,q1]， B = [ p 2 , q 2 ] B=[p_{2}, q_{2}] B=[p2,q2]，则整个序列的总和最大区间是 [ p 1 , q 1 ] \bm{[p_{1}, q_{1}]} [p1,q1]、 [ p 2 , q 2 ] \bm{[p_{2}, q_{2}]} [p2,q2] 和 [ p 1 , q 2 ] \bm{[p_{1}, q_{2}]} [p1,q2] 中最大的一个
  
  证明：分情况讨论即可：
- 时间复杂度是 O ( n l o g n ) \bm{O(nlogn)} O(nlogn)

方法四：正反扫描

在序列中扫描找到第一个大于0的数，复杂度 O ( n ) O(n) O(n)

如果所有数字非正（≤0），那么要找的区间就是 整个序列中最大的数
借鉴方法二，令 p = 1 p=1 p=1， q = 2 , 3 , . . . , K q=2,3,...,K q=2,3,...,K，计算 S ( 1 , q ) \bm{S(1,q)} S(1,q)、Maxf（前向最大）和 r
扫描到最后（ q = K q=K q=K），所保留的 Maxf 对应的 r 就是要找区间的右边界

如果 ∀ q ∈ [ 2 , K ] \bm{\forall} q ∈ [2, K] ∀q∈[2,K]，都有 S ( 1 , q ) ≥ 0 S(1,q)≥0 S(1,q)≥0，情况会比较简单
反向扫描，同理计算出 Maxb（后向最大）和 l \bm{l} l（左边界）

我们使用例题1.3的数据，依次计算前向累积和后向累积值，结果如下：

从图表中我们易知：
- Maxf = 39.3，对应 r = 10 r=10 r=10
- Maxb = 40.8，对应 l = 5 l=5 l=5

但如果 S ( 1 , q ) S(1,q) S(1,q) 在某处小于0，并且之后一直小于0，情况就变复杂了

比如我们将1.3的数据改动 2 个（8 和 9 改为 -62.2 和 44.2），如下表：

由图表知，Maxf 出现在 r = 6 r=6 r=6 的位置，Maxb 出现在 l = 9 l=9 l=9 的位置：
- 右边界在左边界的左边，算法错误
- 原本 [9, 10] 之间元素和为 49.6，是真正的 Maxf
- 在累加了前 8 个元素之后和小于0，并一直小于0，因此没找到

对步骤2、3进行改进：
- 步骤2：先把左边界 p p p 固定在第一个大于0的位置，令 q = p , p + 1 , . . . , K q=p,p+1,...,K q=p,p+1,...,K，计算 Maxf 和 r
  
  如果算到 S ( p , q ) < 0 S(p,q)<0 S(p,q)<0，从 q q q 开始反向计算 Maxb，此时可以确定从第1个数到第 q q q 个数的和最大区间 [ l 1 , r 1 ] [l_{1}, r_{1}] [l1,r1]（这里 l 1 = p l_{1}=p l1=p）和 Max₁
- 步骤3：从 q + 1 q+1 q+1 开始向后扫描，重复步骤2，可能在算到某个 q ′ q' q′ 时，又会出现 S ( q + 1 , q ′ ) < 0 S(q+1,q')<0 S(q+1,q′)<0，以此可以得到第二个局部最大区间 [ l 2 , r 2 ] [l_{2}, r_{2}] [l2,r2] 和 Max₂，接着确定从头开始到 q ′ q' q′ 的和最大区间
  
  比较 Max₁、Max₂ 和 Max₁ + Max₂ + S ( l 1 , r 2 ) S(l_{1}, r_{2}) S(l1,r2)，发现从头开始到 q ′ q' q′ 的和最大区间是 [ l 1 , r 1 ] [l_{1}, r_{1}] [l1,r1] 或 [ l 2 , r 2 ] [l_{2}, r_{2}] [l2,r2]，每次保留更大的区间到中间变量 Max 和 [ l , r ] [l,r] [l,r] 中即可
- 接着，步骤4用步骤3的方法，向后扫描完整个序列，更新完 Max
- 最后，得到的局部和最大区间 [ l , r ] [l,r] [l,r]，就是全局和最大区间

小结一下序列在累计求和时出现的两种情况，如下两图所示：

简单来说，就是 全局和最大区间 = Max {大于0的局部和最大区间}

综上，这个算法只需要 将整个序列扫描两遍（正反），时间复杂度为 O ( n ) \bm{O(n)} O(n)

【思考题 1.3.1】

【问】将例题1.3的线性复杂度算法写成伪代码。

【答】参考了网络大牛的做法，加上了一些自己的理解：

def maxSubArray(arr):# 算到 S(p,q)<0 时，得到的最大局部区间和sum_tmp = 0# 当前最大总和初始化sum_max = arr[0]# 左边界初始化left = 0# 右边界初始化right = 0# 正向局部左边界初始化left_tmp = 0# 完整遍历序列for i in range(len(arr)):# 正向累加sum_tmp += arr[i]# 局部最大 > 当前最大if sum_tmp > sum_max:# 更新当前最大值sum_max = sum_tmp# 更新右边界值 rright = i# 更新左边界值 l（上一轮S<0的局部左边界值）left = left_tmp# 局部总和值小于0，跳过当前数（简化）if sum_tmp < 0:# 更新局部和sum_tmp = 0# 更新局部左边界值left_tmp = i + 1# 返回全局最大值和全局总和最大区间return sum_max, arr[left:right + 1]if __name__ == '__main__':arr = [1.5, -12.3, 3.2, -5.5, 23.2, 3.2, -1.4, -62.2, 44.2, 5.4, -7.8, 1.1, -4.9]# (49.6, [44.2, 5.4])print(maxSubArray(arr))

结测试，例题1.3的两种情况均验证成功。

【思考题 1.3.2】

【问】在一个数组中寻找一个区间，使得区间内的数字之和等于某个事先给定的数字。

【答】参考了网络大牛的做法：

def subarraySum(arr, T):'''1. 用字典代替哈希表（当子序列和已经存在于字典中时，可直接跳过）2. 循环计算子序列和 S(1, i) 时，可以寻找 S(1, i) - T 是否在字典中，找到的key值满足：对字典中已存在的 S(1, j)，j < i'''hash_dict = {}temp_sum = 0for i in range(0, len(arr), 1):temp_sum += arr[i]if temp_sum == T:return (0, i)if temp_sum - T in hash_dict.keys():return (has_dict[temp_sum - T] + 1, i)if temp_sum in hash_dict.keys():continueelse:hash_dict[temp_sum] = i

【思考题 1.3.3】

【问】在一个二维矩阵中，寻找一个矩形的区域，使其中的数字之和达到最大值。

【答】参考了网络大牛的做法：

def getMaxMatrix(matrix):r1 = c1 = r2 = c2 = 0max_sum_matrix = matrix[0][0]for i in range(0, len(matrix), 1):arr_list = [0] * len(matrix[0])for j in range(i, len(matrix), 1):# 将新的一行与原矩阵逐项累加，生成新的一维序列arr_list = [arr_list[k] + matrix[j][k] for k in range(0, len(arr_list), 1)](temp_max_sum, temp_left, temp_right) = self.maxSubArray(arr_list)if temp_max_sum > max_sum_matrix:max_sum_matrix = temp_max_sumc1 = temp_leftc2 = temp_rightr1 = ir2 = jreturn [r1, c1, r2, c2]

总结

在计算机科学领域，从业者要想提高解决问题的能力，就需要不断培养对计算机的感觉。阅读例题1.3的四种解法，我们可以总结出如下建立感觉的方法：
- 认识问题边界（至少扫描整个序列一次）
- 优化算法（少做无用功）
- 逆向思维（反向累加）

参考资料

《计算之魂》第一章
https://zhuanlan.zhihu.com/p/476641538
大牛的聊天记录

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例题 1.3

方法一：三重循环

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【思考题 1.3.3】

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