算法学习笔记：网络流#4——ISAP 求解最大流

1. 前言
2. 模板
- 2.1 详解
- 2.2 正确性证明
- 2.3 代码
3. 算法对比
- 3.1 一般数据下的对比
- 3.2 特殊数据下的对比
4. 总结

1. 前言

本篇博文将会重点讲解 ISAP 求解最大流。

ISAP 求解最大流，是目前笔者知道的 除了 HLPP 之外的速度最快的最大流算法。

在学习 ISAP 求解最大流之前，您需要对以下知识有所了解，包括但不限于：网络流基础定义，FF/EK 求解最大流的思路，dinic 求解最大流的 代码实现。

如果您对上述部分内容不熟悉，可以前往笔者所写的以下博文查看：

网络流基础定义：算法学习笔记：网络流#1——有关内容+算法导航
FF/EK 求解最大流的思路：算法学习笔记：网络流#2——EK 求解最大流
dinic 求解最大流的 代码实现：算法学习笔记：网络流#3——dinic 求解最大流

2. 模板

模板题：P3376 【模板】网络最大流

2.1 详解

dinic 算法已经足够高效了，但是非常遗憾，dinic 仍然可以被卡掉，而且出现这种数据就代表 dinic 一定会 TLE，可以见最后面的数据比较。

不行，不稳定的算法我们不要，我们需要一种更加稳定的算法来处理最大流问题。

于是 ISAP 出现了。

ISAP 的核心思路就是：先用 一遍 BFS 从 ttt 开始 分层，同时记录 gapigap_igapi 数组表示当前层数为 iii 的点的数量，然后寻找增广路。

寻找增广路的过程中，一旦有一个点接受到的流量不能全部流出，那么就将这个点的层数提高 1，如果在提高完之后出现了断层（有一层没有点了），意味着算法结束。

大体分为 3 个步骤：

分层
找增广路以及提高层数
出现断层则结束算法

算法好理解，但是正确性呢？

2.2 正确性证明

ISAP 的正确性证明可能需要感性理解一下。

根据上面的算法步骤，当一个点推流推完的时候，这个点的层数不提高。

为什么？因为此时这个点的层数已经足够其推流了，不需要再提高，而且根据 dinic 算法的要求，流量只能在相邻层之间移动。

那么假设当前点推流推不出去了，这个时候需要提高层数，但是为什么这样就一定正确了呢？

想一个问题：如果当前的点无法推流了，那么前面的点呢？

是不是也无法推流了呀！那么因此如果我们提高了这个点的层数，前面的点也必须要提高层数（否则无法推流），此时就能够保证至少这个点接受流量不变。

而如果后面的点有层次更高的点，就可以继续推流，存在增广路；如果没有了，都是层次比较低的点，此时满足以下几个条件：

层次比较低的点推流完毕，无法再推流（即使得到 INFINFINF 的流量）。
由一，不存在增广路，满足算法结束条件。
于此同时，由于后面的点层次比较低，又推流完毕，没法提高层次，这个时候就会 出现断层，满足算法结束条件。

综上，算法正确性成立。

而 ISAP 巧妙的地方就在于它只要做一遍 BFS，大大减少运行时间，而且因为出现断层就是算法结束，可以保证不会被层次大的构造的图卡掉（具体见后面的对比）。

同样的，ISAP 可以使用当前弧优化，参照 dinic 的当前弧优化，证明也是一样的。

2.3 代码

代码：

/*
========= Plozia =========Author:PloziaProblem:P3376 【模板】网络最大流——ISAP 写法Date:2021/3/19
========= Plozia =========
*/#include <bits/stdc++.h>typedef long long LL;
const int MAXN = 200 + 10, MAXM = 5000 + 10;
const LL INF = 0x7f7f7f7f7f7f7f7f;
int n, m, s, t, dep[MAXN], gap[MAXN], cnt_Edge = 1, Head[MAXM << 1], cur[MAXN];
struct node {int to; LL val; int Next;} Edge[MAXM << 1];
int q[MAXN], l, r;
LL ans;int read()
{int sum = 0, fh = 1; char ch= getchar();for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) fh -= (ch == '-') << 1;for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) sum = (sum << 3) + (sum << 1) + (ch ^ 48);return (fh == 1) ? sum : -sum;
}
LL Min(LL fir, LL sec) {return (fir < sec) ? fir : sec;}
void add_Edge(int x, int y, int z) {Edge[++cnt_Edge] = (node){y, (LL)z, Head[x]}; Head[x] = cnt_Edge;}void bfs()
{q[l = r = 1] = t;memset(dep, -1, sizeof(dep)); dep[t] = 0; ++gap[0];//注意这地方 dep 初始化为 0 会出现一些奇奇怪怪的问题while (l <= r){int x = q[l++];for (int i = Head[x]; i; i = Edge[i].Next){int u = Edge[i].to;if (dep[u] != -1) continue ;dep[u] = dep[x] + 1; q[++r] = u; ++gap[dep[u]];}}
}LL dfs(int now, LL Flow)
{if (now == t) return Flow;LL used = 0;for (int i = cur[now]; i; i = Edge[i].Next){cur[now] = i; int u = Edge[i].to;if (Edge[i].val && dep[now] == dep[u] + 1)//注意控制层数{LL Minn = dfs(u, Min(Edge[i].val, Flow - used));if (Minn){Edge[i].val -= Minn; Edge[i ^ 1].val += Minn; used += Minn;if (used == Flow) return used;}}}--gap[dep[now]];//提高层数if (gap[dep[now]] == 0) dep[s] = n + 1;//出现断层++dep[now]; ++gap[dep[now]];return used;
}int main()
{n = read(), m = read(), s = read(), t = read();for (int i = 1; i <= m; ++i){int x = read(), y = read(), z = read();add_Edge(x, y, z); add_Edge(y, x, 0);}bfs();while (dep[s] <= n) {for (int i = 1; i <= n; ++i) cur[i] = Head[i]; ans += dfs(s, INF);}//出现断层就结束算法printf("%lld\n", ans);return 0;
}

3. 算法对比

3.1 一般数据下的对比

一般数据的对比参照 luogu 的模板题提交结果。

全部采用快读
全部采用 STL 容器的队列（所以上面的 ISAP 代码不适用于这里的对比）
全部不开启 O2O_2O2 优化
dinic 和 ISAP 采用当前弧优化
全部不对重边进行合并处理，这样做是为了更具有可比性
代码长度以 Dev-C++ 数据为准
因为码风问题，或许笔者所测的代码长度与读者所测的代码长度差距很大，请读者谅解。
因为 FF 被群殴了所以没有 FF

算法	代码长度	使用时间	使用空间
EK	1.746K	605ms	892.00KB
dinic	2.071K	45ms	884.00KB
ISAP	2.078K	38ms	900.00KB

从上面的表格可以看出来：

EK 的码量相对短一点，但是耗时太长了。
dinic 和 ISAP 其实在这些数据下没什么差别。

其实一般的网络流题目主要考建模能力，一般不会来卡你算法时间（当然 EK 被卡掉比较普遍），但是万一出题人构造数据卡你，那么还是使用 ISAP 吧。

顺便提一下，根据目前笔者所了解，ISAP 貌似不支持费用流问题，dinic 支持，所以 dinic 还是很重要的。

当然 ISAP 实在是太难卡了（目前笔者无法构造 hack 数据）以至于没必要学 HLPP，HLPP 码量又长又容易写错，而且必须加各种玄学优化才会比 ISAP 快，普通的 HLPP 跑不过 ISAP。

3.2 特殊数据下的对比

此处的数据引用了洛谷用户 @离散小波变换° 在加强版模板 P4722 【模板】最大流加强版 / 预留推进题解里面给出的数据，在此表示感谢。

P.S. 笔者感觉表格里面 n,mn,mn,m 的数据是假的，因为好像 dinic 在这种数据下根本没法在一秒里面跑完，真正的数据或许是 n=104,m=3×104n=10^4,m=3 \times 10^4n=104,m=3×104。

首先给出原文中的数据表格：

测试数据	性质 1	性质 2	性质 3	性质 5	n=n=n=	m=m=m=
1	√	√		√	10510^5105	3×1053 \times 10^53×105
2	√	√		√	10510^5105	3×1053 \times 10^53×105
3	√	√			10510^5105	3×1053 \times 10^53×105
4	√	√			10510^5105	3×1053 \times 10^53×105
5	√		√	√	10510^5105	3×1053 \times 10^53×105
6	√		√	√	10510^5105	3×1053 \times 10^53×105
7	√		√		10510^5105	3×1053 \times 10^53×105
8	√		√		10510^5105	3×1053 \times 10^53×105
9	√			√	10510^5105	3×1053 \times 10^53×105
10	√			√	10510^5105	3×1053 \times 10^53×105
11	√				10510^5105	3×1053 \times 10^53×105
12	√				10510^5105	3×1053 \times 10^53×105
13		√		√	10510^5105	3×1053 \times 10^53×105
14		√		√	10510^5105	3×1053 \times 10^53×105
15		√			10510^5105	3×1053 \times 10^53×105
16		√			10510^5105	3×1053 \times 10^53×105
17			√	√	10510^5105	3×1053 \times 10^53×105
18			√	√	10510^5105	3×1053 \times 10^53×105
19			√		10510^5105	3×1053 \times 10^53×105
20			√		10510^5105	3×1053 \times 10^53×105
21				√	10510^5105	3×1053 \times 10^53×105
22				√	10510^5105	3×1053 \times 10^53×105
23					10510^5105	3×1053 \times 10^53×105
24					10510^5105	3×1053 \times 10^53×105

笔者备注：方便起见，原文中所有的 × 已经使用空格代替，23,24 两组数据表示数据不是特殊构造，不具有 5 种性质。

性质 1：不会出现环
性质 2：层次数量很少
性质 3：层次数量很大
性质 4：无解
性质 5：答案较小

笔者备注：在原文中，性质一是专门针对 FF 所设计的，也就是说 FF 只要有环就会 TLE，且没环的数据仍然消耗了极高的时间。

评测环境说明：

时间限制为 60s60s60s。
开启快读，O2O_2O2 优化。
dinic 和 ISAP 使用当前弧优化。
使用 lemon 评测机测试

最后结果如下：

测试数据	EK	dinic	ISAP
1	0.171s0.171s0.171s	0.625s0.625s0.625s	0.265s0.265s0.265s
2	0.156s0.156s0.156s	0.562s0.562s0.562s	0.265s0.265s0.265s
3	0.625s0.625s0.625s	0.828s0.828s0.828s	0.390s0.390s0.390s
4	0.312s0.312s0.312s	0.578s0.578s0.578s	0.328s0.328s0.328s
5	0.046s0.046s0.046s	2.468s\red{2.468s}2.468s	0.218s0.218s0.218s
6	0.078s0.078s0.078s	5.546s\red{5.546s}5.546s	0.203s0.203s0.203s
7	0.109s0.109s0.109s	5.216s\red{5.216s}5.216s	0.328s0.328s0.328s
8	0.218s0.218s0.218s	7.812s\red{7.812s}7.812s	0.265s0.265s0.265s
9	0.375s0.375s0.375s	1.281s\purple{1.281s}1.281s	0.375s0.375s0.375s
10	0.156s0.156s0.156s	0.781s0.781s0.781s	0.187s0.187s0.187s
11	0.046s0.046s0.046s	0.312s0.312s0.312s	0.203s0.203s0.203s
12	2.703s\red{2.703s}2.703s	0.875s0.875s0.875s	0.328s0.328s0.328s
13	0.156s0.156s0.156s	0.703s0.703s0.703s	0.203s0.203s0.203s
14	0.328s0.328s0.328s	0.500s0.500s0.500s	0.218s0.218s0.218s
15	0.171s0.171s0.171s	0.296s0.296s0.296s	0.296s0.296s0.296s
16	0.234s0.234s0.234s	0.562s0.562s0.562s	0.296s0.296s0.296s
17	0.140s0.140s0.140s	4.687s\red{4.687s}4.687s	0.343s0.343s0.343s
18	0.031s0.031s0.031s	2.921s\red{2.921s}2.921s	0.296s0.296s0.296s
19	0.040s0.040s0.040s	2.359s\red{2.359s}2.359s	0.312s0.312s0.312s
20	0.078s0.078s0.078s	4.656s\red{4.656s}4.656s	0.390s0.390s0.390s
21	0.312s0.312s0.312s	0.500s0.500s0.500s	0.218s0.218s0.218s
22	0.203s0.203s0.203s	1.000s\purple{1.000s}1.000s	0.234s0.234s0.234s
23	0.062s0.062s0.062s	0.343s0.343s0.343s	0.265s0.265s0.265s
24	0.281s0.281s0.281s	1.015s\purple{1.015s}1.015s	0.328s0.328s0.328s
总用时	7.027s7.027s7.027s	46.428s46.428s46.428s	6.754s6.754s6.754s

根据上表，笔者总结如下：

dinic 在层次很深的时候会被卡掉。
EK 玄学吊打全场，但是被 #12 卡掉了。
ISAP 非常稳。

4. 总结

ISAP 的主要思路：一遍 BFS 分层，然后利用断层巧妙寻找增广路。

到目前为止，笔者已经讲完了 EK,dinic,ISAP 求解最大流，接下来将会进入网络流的另外一个分支：费用流。

传送门：

算法学习笔记：网络流#5——EK 求解费用流
算法学习笔记：网络流#6——dinic 求解费用流

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