UVA11300 Spreading the Wealth

思路

对于这道题，我们可以将其转化为一道线性代数的问题，设第iii个人的初始值为AiA_{i}Ai，第iii个人给第i−1i-1i−1个人的金币数目为xix_{i}xi，设最终值为avgavgavg，我们可以得到这样一个等式A1−x1+x2=avgA_{1}-x_{1}+x_{2}=avgA1−x1+x2=avg，设C1=A1−avgC_{1} = A_{1}-avgC1=A1−avg得到x1−x2=C1→x2=x1−C1(1)x_{1}-x_{2}=C_{1}\to x_{2}=x_{1}-C_{1}(1)x1−x2=C1→x2=x1−C1(1)

根据这个式子我们对下面递推的式子进行处理A2−x2+x3=avg→x2−x3=A2−avg→x3=x2−A2+avg(2)A_{2}-x_{2}+x_{3}=a vg\to x_{2}-x_{3}=A_{2}-avg\to x_{3}=x_{2}-A_{2}+avg(2)A2−x2+x3=avg→x2−x3=A2−avg→x3=x2−A2+avg(2)

将(1)(1)(1)式带入(2)(2)(2)式后，得到x3=x1−C2(C2=A1+A2−2avg)x_{3}=x_{1}-C_{2}(C_{2}=A_{1}+A_{2}-2avg)x3=x1−C2(C2=A1+A2−2avg)

有这个式子我们可以对下面的n个式子进行递推，可以得到xn=x1−Cn−1x_{n}=x_{1}-C_{n-1}xn=x1−Cn−1，而Cn−1C_{n-1}Cn−1我们是可以解出来的，所以只剩下一个变量x1x_{1}x1，这个式子就变成了一个单变量极值的题目，他的几何意义可以概括为:在一条坐标轴上，有n个坐标分别为C1,C2...CnC_{1},C_{2}...C_{n}C1,C2...Cn的点，我们要求这个数轴上一点到这个n个数距离之和的最小值，因为这个是一个环，所以最后一点得到的结果为x1x_{1}x1

要求的结果就是min⁡∣x1∣+∣x1−C1∣+....∣x1−Cn−1∣\min{|x_{1}|+|x_{1}-C_{1}|+....|x_{1}-C_{n-1}|}min∣x1∣+∣x1−C1∣+....∣x1−Cn−1∣，对于这个式子的解，我们可以得到当x1x_{1}x1等于所有点的中位数的时候是最小的。证明这个结论只需要将这个点置于中点，然后向任意一边进行移动可以发现这个数值都是在变大

对于点个数为偶数的情况x1x_{1}x1只需要在中间两个点的区间内即可

code

#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 1010000
#define ll long long
using namespace std;
ll A[N],C[N],sum,m;
int main()
{int n;while(scanf("%d",&n)==1){sum = 1;for(int i = 1;i <= n;i++){scanf("%lld",&A[i]);sum += A[i];}ll avg = sum/n;C[0] = 0;for(int i = 1;i < n;i++) C[i] = C[i-1] + A[i] - avg;sort(C,C+n);ll mid = C[n/2],ans = 0;for(int i = 0;i < n;i++) ans += abs(mid - C[i]);printf("%lld\n",ans);}return 0;
}