UVa11300 Spreading the Wealth 题解

非常好的一道数学题。

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题目分析

（参考刘汝佳《算法竞赛入门经典 ⋅\cdot⋅ 训练指南》）

本身看起来很复杂。不要急，我们慢慢分析。

首先，每个人最终的金币数是可以计算出来的，即总金币数去除以总人数，我们设这个数等于MMM。

假设一共有 nnn 个人，编号为 111，222，333，444，⋯\cdots⋯。设每个人刚开始拥有的金币数为 AiA_iAi，xix_ixi 表示第 iii 个人给其上一个人的金币数（x1x_1x1 表示给 nnn 的金币数）。那么对于编号 111，经转手后的金币数就等于 M=A1−x1+x2M=A_1-x_1+x_2M=A1−x1+x2，同理：M=A2−x2+x3,M=A3−x3+x4⋯M=A_2-x_2+x_3,M=A_3-x_3+x_4\cdotsM=A2−x2+x3,M=A3−x3+x4⋯。最终我们就可以获得第 nnn 个式子 M=An−xn+x1M=A_n-x_n+x_1M=An−xn+x1，那我们是不是就可以解方程组了呢？很遗憾，最后一个方程是可以通过前 n−1n-1n−1 个方程推导出来的，故只有前 n−1n-1n−1 个方程是有用的。

尽管无法直接求解，我们还是可以用 x1x_1x1 表示其他的 xix_ixi，进而转化为单变量的极值问题。

对于第 111 个人，可以得到 x2=x1+M−A1x_2=x_1+M-A_1x2=x1+M−A1。

对于第 222 个人，可以得到 x3=x2+M−A2=x1+M−A2+M−A1x_3=x_2+M-A_2=x_1+M-A_2+M-A_1x3=x2+M−A2=x1+M−A2+M−A1。

对于第 333 个人，可以得到 x4=x3+M−A3=x1+M−A3+M−A2+M−A1x_4=x_3+M-A_3=x_1+M-A_3+M-A_2+M-A_1x4=x3+M−A3=x1+M−A3+M−A2+M−A1。

⋯\cdots⋯

所以对于第 nnn 个人，有 xn=x1+nM−(∑i=1nAi)x_n=x_1+nM-(\sum_{i=1}^nA_i)xn=x1+nM−(∑i=1nAi)。

最后，我们要求解的是转手金币数的最小值，也就是 min⁡{∑i=1n∣xi∣}\min\{\sum_{i=1}^n|x_i|\}min{∑i=1n∣xi∣}，所以这个时候我们令 Ci=(∑i=1nAi)−i⋅MC_i=(\sum_{i=1}^nA_i)-i\cdot MCi=(∑i=1nAi)−i⋅M，这样，我们要求解的式子就变成 min⁡{∣x1∣+∣x1−C1∣+∣x2−C2∣+⋯+∣xn−Cn∣}\min\{|x_1|+|x_1-C_1|+|x_2-C_2|+\cdots +|x_n-C_n|\}min{∣x1∣+∣x1−C1∣+∣x2−C2∣+⋯+∣xn−Cn∣}。由于两个值的差的绝对值的几何意义是二者的距离，所以我们把求最小值这个问题放在数轴上来解决，问题也转成求 x1x_1x1 到各个 CiC_iCi 的距离之和的最小值。

假设我们的红圈（x1x_1x1）向右微微移动了 ddd 个单位，那么对于左边就增加了 2d2d2d 的距离，对于右边减少了 4d4d4d 的距离，故减少了 2d2d2d 的距离。所以每次只要我们向蓝圈更多的一边去移动，就会对答案产生贡献，进而推出当红圈两边的蓝圈数相等，即处于中位数时，可以获得最小值。之后我们将 CiC_iCi 从小到大来排序，然后统计答案即可。

对于 AiA_iAi，我们没有任何必要保存，具体实现请看代码：

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
ll M,sum;
int n;
ll C[1000005];inline ll re(){register ll k=0,f=1ll;register char c=getchar();while(!isdigit(c)){if(c=='-') f=-1ll;c=getchar();}while(isdigit(c)){k=k*10ll+(c^48ll);c=getchar();}return 1ll*k*f;
}void wr(ll x){if(x<0){x=~x+1;putchar('-');}if(x>9) wr(x/10ll);putchar(x%10ll^48ll);
}signed main(){while(scanf("%d",&n)!=EOF){for(int i=1;i<=n;++i) C[i]=0;for(int i=1;i<=n;++i){ll x=re();C[i]=x+C[i-1];}M=C[n]/n;for(int i=1;i<=n;++i) C[i]-=i*M;sort(C+1,C+1+n);ll x=C[(n+1)/2],ans=0;for(int i=1;i<=n;++i)ans+=abs(x-C[i]);wr(ans);putchar('\n');}return 0;
}

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