机器人（机械臂）动力学建模方法（Euler-Lagrange equation）

动力学介绍

机器人动力学明确描述机器人力和运动之间的关系。在机器人设计、机器人运动仿真和动画以及控制算法设计中，都需要考虑动力学方程，他是对机器人系统力和运动关系的完整表述。

动力学方程一般有两种形式：
1. 欧拉-拉格朗日运动方程
2. 牛顿-欧拉方程
3.

动力学模型

欧拉-拉格朗日运动方程：

L=K+P

ddt∂L∂q˙i−∂L∂q˙i=τi,i=1,⋯,n

\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot q_i}} - \frac{\partial{L}}{\partial{\dot q_i}}=\tau_i,i=1, \cdots ,n

写成以下紧凑的形式为：

ddt(∂L∂q˙i)T−（∂L∂q˙i）T=τ

\frac{d}{dt}(\frac{\partial{L}}{\partial{\dot q_i}} )^T - （\frac{\partial{L}}{\partial{\dot q_i}}）^T=\tau

n连杆机器人的动能：

K=12q˙T[∑i=1m{miJiv(q)TJiv(q)+Jiω(q)TRi(q)IiRi(q)TJiω(q)}]q˙=12q˙TD(q)q˙

K=\frac{1}{2}\dot{q}^T[ \sum^m_{i=1} \{ m_i J_{v}^i (q)^T J_{v}^i(q) + J_{\omega}^i(q)^T R_i(q) I_i R_i(q)^T J_{\omega}^i(q) \} ] \dot{q}= \frac{1}{2} \dot{q}^T D(q) \dot{q}

其中：

D(q)=[∑i=1m{miJiv(q)TJiv(q)+Jiω(q)TRi(q)IiRi(q)TJiω(q)}]

D(q)=[ \sum^m_{i=1} \{ m_i J_{v}^i(q)^T J_{v}^i(q) + J_{\omega}^i(q)^T R_i(q) I_i R_i(q)^T J_{\omega}^i(q) \} ]

被称为惯性矩阵，是一个与形位相关的 n∗nn*n 对称、正定矩阵。

Jiv=[Jiv1⋯Jivi 0⋯0]

J_{v}^i= [ J_{v_1}^i \cdots J_{v_i}^i \ 0 \cdots 0]

Jiω=[Jiω1⋯Jiωi 0⋯0]

J_{\omega}^i= [ J_{\omega_1}^i \cdots J_{\omega_i}^i \ 0 \cdots 0]

对旋转关节：Jivj=zj∗(pli−pj) J_{v_j}^i= z_{j}*(p_{l_i}-p_j) ，Jiωj=zj J_{\omega_j}^i=z_j
对移动关节：Jivj=zj J_{v_j}^i= z_{j} ，Jiωj=0 J_{\omega_j}^i=0
mim_i为连杆的质量，Jiv和Jiω J_{v}^i 和 J_{\omega}^i是各关节连杆坐标系相对基坐标系对应的雅克比矩阵，Ri R_i 为各连杆坐标系相对基坐标系的旋转矩阵。

n连杆机器人的势能：

P=∑i=1mmigT0pi

P=\sum^m_{i=1} m_i g_0^T p_{i}
其中， PiP_i是第 ii连杆的质心，g0g_0为重力加速度向量

欧拉-拉格朗日运动方程可以写成：

∑j=1ndij(q)q¨j+∑i=1n∑j=1ncijk(q)qi˙qj˙+gi(q)=τi

\sum^n_{j=1} d_{ij}(q) \ddot q_j + \sum^n_{i=1} \sum^n_{j=1} c_{ijk}(q)\dot{q_i}\dot{q_j} + g_i(q)=\tau_i
其中： cijk=12(∂bij∂qk+∂bik∂qj−∂bjk∂qi) c_{ijk}=\frac {1}{2}( \frac{\partial b_{ij}}{\partial q_k} + \frac{\partial b_{ik}}{\partial q_j} - \frac{\partial b_{jk}}{\partial q_i} ), 对确定的 kk, cijk=cjikc_{ijk}=c_{jik},此处的 cijkc_{ijk}被称作（第一类）Christoffel 符号。

考虑机器人末端的受力heh_e, 表示由粘滞摩擦系数构成的矩阵FvF_v, 和表示静摩擦力的矩阵FsF_s,用矩阵形式表示为：

D(q)q¨+C(q,q˙)q˙+Fvq˙+Fssgn(q˙)+g(q)=τ−JT(q)he

D(q) \ddot q +C(q,\dot q) \dot q+F_v\dot q+F_s sgn (\dot q)+g(q)=\tau-J^T(q)h_e
其中：

∑j=1ncijq(j)=∑j=1n∑k=1ncijkq˙(k)q˙(j)

\sum^n_{j=1}c_{ij} q_{(j)}= \sum^n_{j=1} \sum^n_{k=1} c_{ijk} \dot q_{(k)} \dot q_{(j)}