机器人（机械臂）动力学建模方法（Newton-Euler equation）

2024-05-23 02:46:13

牛顿-欧拉公式（Newton-Euler equation）根据中间连杆上的力、力矩平衡关系上推断出来的。它的解具有递归的形式，前向递归用于连杆的速度、加速度的传递，后向递归用于力的传递。

参数定义

以下参数均是相对于连杆 ii

ac,ia_{c,i}：连杆质心加速度
ae,ia_{e,i}：连杆末端加速度
ωi\omega _i：角速度
αi\alpha _i：角加速度
ziz_i：基座标系下，zz 轴坐标
gig_i：重力矢量
fif_i：受到的力
τi\tau_i：受到的力矩
Rii+1R_{i+1}^i：旋转矩阵
mim_i：质量
IiI_i：惯性张量
ri−1,cir_{i-1,ci}：坐标系 i−1i-1原点到质心矢量
ri−1,ir_{i-1,i}：坐标系 i−1i-1原点到坐标系 ii原点矢量
ri,cir_{i,ci}：坐标系 ii原点到质心矢量

建模方法

1.前向迭代：
初值条件：ω0=α0=ac,0=ae,0=0\omega_0 = \alpha _0 =a_{c,0} =a_{e,0} =0

bi=(R0i)Tzi−1b_i=(R_i^0)^Tz_{i-1}

ωi=(Ri−1i)Tωi−1+biq˙i\omega _i =(R_i^{i-1})^T \omega _{i-1} + b_i \dot q_i

αi=(Ri−1i)Tαi−1+biq¨i+ωi×biq˙i\alpha _i =(R_i^{i-1})^T \alpha _{i-1} + b_i \ddot q_i + \omega _i \times b_i \dot q_i

ae,i=(Ri−1i)Tae,i−1+ω˙i×ri−1,i+ωi×(ωi×ri−1,i)a_{e,i} = (R_i^{i-1})^T a _{e,i-1} + \dot \omega _i \times r_{i-1,i} + \omega _i \times ( \omega _i \times r_{i-1,i} )

ac,i=(Ri−1i)Tae,i−1+ω˙i×ri−1,ci+ωi×(ωi×rc,i)a_{c,i} = (R_i^{i-1})^T a _{e,i-1} + \dot \omega _i \times r_{i-1,ci} + \omega _i \times ( \omega _i \times r_{c,i} )

2.后向迭代：

初值条件：fn+1=τn+1=0f_{n+1} = \tau_{n+1} = 0

fi=Rii+1fi+1+miac,i−migif_i = R_{i+1}^i f_{i+1} + m_ia_{c,i} - m_i g_i
τi=Rii+1τi+1−fi×ri−1,ci+(Rii+1fi+1)×ri,ci+ωi×(Iiωi)\tau_i = R_{i+1}^i \tau_{i+1} - f_i \times r_{i-1,ci} + ( R_{i+1}^i f_{i+1} ) \times r_{i,ci} + \omega _i \times (I_i \omega _i)

模型

通过迭代，可以得到以下形式的动力学方程：

τi=f(q,ω,ω˙,gi)

\tau_i = f( q, \omega , \dot \omega, g_i)

这就是牛顿-欧拉形式的动力学方程。

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