高斯误差函数erf的数值计算方法（C++实现）

HskErf函数

前言

由于毕设的数学推导中涉及了 erf\mathrm{erf}erf 函数，关于其他函数的渐近计算推导见链接类指数级数（指数积分函数的变体）数值计算算法的C++实现。

反正闲得无聊，虽然知道这种函数肯定有现成的轮子了，然而我是情报弱者。再加上最后我的算法是要在 C++ 平台上进行实现的，不如自己造一手轮子。

注意1：因为我的场景只涉及 x⩾0x\geqslant0x⩾0 的情形，所以只针对这种情况进行了考虑。事实上，根据对称性 x<0x<0x<0 ，直接用 erf(x)=1−erf(−x)\mathrm{erf}\left(x\right)=1-\mathrm{erf}\left(-x\right)erf(x)=1−erf(−x) 即可

注意2：这里我采用的是局部展开，所以最坏复杂度可能会很高。正经的做法使用Remez算法进行展开，详见链接https://baike.baidu.com/item/%E9%9B%B7%E7%B1%B3%E5%85%B9%E7%AE%97%E6%B3%95/23665981?fr=aladdin，也可参考FDLIBM的C源码实现，见http://gnuwin32.sourceforge.net/packages/fdlibm.htm

注：为了与已有函数区分，函数名前加了Hsk，Hsk是我的ID的缩写(羽咲->Hasaki->Hsk)

C++代码

话不多说，先给代码再解释。这里的计算精度为 ε<10−10\varepsilon<10^{-10}ε<10−10 ，如果想要修改计算精度，应当调节 HSK_EPSILON 和 HSK_INF_SERIES 这两个宏。

#include<cmath>#define HSK_EPSILON 1e-10
#define HSK_INF_SERIES 3.5  // HSK_INF_SERIES = log10(1/HSK_EPSILON) / 4 + 1
#define HSK_PI 3.14159265358979323846double HskErf (double x) {double ans = 0;static double k = 2 / sqrt(HSK_PI);// 使用无穷展开式if (x >= HSK_INF_SERIES) {double x2 = - 1 / x / x;double an = k * exp(-x * x) / x / 2;    // a1double n;for (n = 1; n < 5; ++ n) {ans += an;an *= (n - 0.5) * x2;  // a{n}(x) <- a{n-1}(x)}return 1 - ans;}// 使用原点展开式else {double x2 = - x * x;double an = k * x;double n;for (n = 1; 2 * abs(an) > HSK_EPSILON; ++ n) {ans += an;an *= (1 - 1 / (n + 0.5)) * x2 / n;  // a{n+1}(x) <- a{n}(x)}return ans;}
}

定义式

erf(x)=2π∫0xexp⁡(−t2)dt(4.1)\mathrm{erf}\left(x\right)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x{\exp\left(-t^2\right)\mathrm{d}t}\tag{4.1} erf(x)=π2∫0xexp(−t2)dt(4.1)

原点展开

令
an(x)=(−1)nx2n+1n!(2n+1)(4.2)a_n\left( x \right) =\frac{\left( -1 \right) ^nx^{2n+1}}{n!\left(2n+1\right)}\tag{4.2} an(x)=n!(2n+1)(−1)nx2n+1(4.2)
有递推式
an(x)=(−1)nx2n+1n!(2n+1)=−(2n−1)x2(2n+1)n(−1)n−1x2n−1(n−1)!(2n−1)=(1−22n+1)−x2nan(x)(4.3)\begin{aligned} a_n\left( x \right) &=\frac{\left( -1 \right) ^nx^{2n+1}}{n!\left( 2n+1 \right)}\\ &=-\frac{\left( 2n-1 \right) x^2}{\left( 2n+1 \right) n}\frac{\left( -1 \right) ^{n-1}x^{2n-1}}{\left( n-1 \right) !\left( 2n-1 \right)}\\ &=\left( 1-\frac{2}{2n+1} \right) \frac{-x^2}{n}a_n\left( x \right)\\ \end{aligned}\tag{4.3} an(x)=n!(2n+1)(−1)nx2n+1=−(2n+1)n(2n−1)x2(n−1)!(2n−1)(−1)n−1x2n−1=(1−2n+12)n−x2an(x)(4.3)
原点展开式为
erf(x)=2π∫0xexp⁡(−t2)dt=2π∑n=0∞∫0x(−1)nt2nn!dt=2π∑n=0∞(−1)nx2n+1n!(2n+1)=2π∑n=0∞an(x)(4.4)\begin{aligned} \mathrm{erf}\left( x \right) &=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x{\exp \left( -t^2 \right) \mathrm{d}t}\\ &=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^{\infty}{\int_0^x{\frac{\left( -1 \right) ^nt^{2n}}{n!}\mathrm{d}t}}\\ &=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{\left( -1 \right) ^nx^{2n+1}}{n!\left(2n+1\right)}}\\ &=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^{\infty}{a_n\left( x \right)}\\ \end{aligned} \tag{4.4} erf(x)=π2∫0xexp(−t2)dt=π2n=0∑∞∫0xn!(−1)nt2ndt=π2n=0∑∞n!(2n+1)(−1)nx2n+1=π2n=0∑∞an(x)(4.4)
余项估计（假设 N+2>2x2N+2> 2x^2N+2>2x2 ）(详见类指数级数（指数积分函数的变体）数值计算算法的C++实现的第三章）
∣aN+1+p(x)∣=∣x∣2(N+1+p)+1(N+1+p)!=∣x∣2N+1(N+1)!(x2)p(N+2)⋯(N+1+p)⩽∣x∣2N+1(N+1)!(x2N+2)p<∣aN+1(x)∣×(12)p(4.5)\begin{aligned} \left| a_{N+1+p}\left( x \right) \right| &=\frac{\left| x\right| ^{2\left(N+1+p\right)+1}}{\left( N+1+p \right) !}\\ &=\frac{\left| x \right|^{2N+1}}{\left( N+1 \right) !}\frac{\left( x^2 \right)^p}{\left( N+2 \right) \cdots \left( N+1+p \right)}\\ &\leqslant \frac{\left| x \right|^{2N+1}}{\left( N+1 \right) !}\left( \frac{x^2}{N+2} \right) ^p\\ &<\left| a_{N+1}\left( x \right) \right| \times \left( \frac{1}{2} \right) ^p\\ \end{aligned} \tag{4.5} ∣aN+1+p(x)∣=(N+1+p)!∣x∣2(N+1+p)+1=(N+1)!∣x∣2N+1(N+2)⋯(N+1+p)(x2)p⩽(N+1)!∣x∣2N+1(N+2x2)p<∣aN+1(x)∣×(21)p(4.5)

2∣aN+1(x)∣⩾2∣aN+1(N+22)∣=2(N+22)2N+3(N+1)!>2(4.6)\begin{aligned} 2\left| a_{N+1}\left( x \right) \right|&\geqslant 2\left| a_{N+1}\left( \sqrt{\frac{N+2}{2}} \right) \right|\\ &=\frac{2\left( \sqrt{\frac{N+2}{2}} \right) ^{2N+3}}{\left( N+1 \right) !}\\ &>2\\ \end{aligned} \tag{4.6} 2∣aN+1(x)∣⩾2∣∣∣∣∣aN+1(2N+2)∣∣∣∣∣=(N+1)!2(2N+2)2N+3>2(4.6)

无穷远点展开

渐近展开
erf(x)=2π∫0xexp⁡(−t2)dt=2π(π2−exp⁡(−x2)∑n=0∞(−1)n(2n−1)!!2n+11x2n+1)=1−2πexp⁡(−x2)∑n=0∞(−1)n(2n−1)!!2n+11x2n+1(4.8)\begin{aligned} \mathrm{erf}\left( x \right) &=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x{\exp \left( -t^2 \right) \mathrm{d}t}\\ &=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\left( \frac{\sqrt{\pi}}{2}-\exp \left( -x^2 \right) \sum_{n=0}^{\infty}{\left( -1 \right) ^n\frac{\left( 2n-1 \right) !!}{2^{n+1}}\frac{1}{x^{2n+1}}} \right)\\ &=1-\frac{2}{\sqrt{\pi}}\exp \left( -x^2 \right) \sum_{n=0}^{\infty}{\left( -1 \right) ^n\frac{\left( 2n-1 \right) !!}{2^{n+1}}\frac{1}{x^{2n+1}}}\\ \end{aligned}\tag{4.8} erf(x)=π2∫0xexp(−t2)dt=π2(2π−exp(−x2)n=0∑∞(−1)n2n+1(2n−1)!!x2n+11)=1−π2exp(−x2)n=0∑∞(−1)n2n+1(2n−1)!!x2n+11(4.8)
注意到无穷展开式并非展开阶数越高越好，当阶数较大时，系数会以比指数更快的速度发散。经过 mathematica 测试，发现展开到 n=4n=4n=4 （即 x−9x^{-9}x−9 ）项时效果最好。因此实际渐近展开式为
erf(x)≈1−2πexp⁡(−x2)[12x−14x3+38x5−1516x7+10532x9](4.9)\mathrm{erf}\left( x \right) \approx 1-\frac{2}{\sqrt{\pi}}\exp \left( -x^2 \right) \left[ \frac{1}{2x}-\frac{1}{4x^3}+\frac{3}{8x^5}-\frac{15}{16x^7}+\frac{105}{32x^9} \right] \tag{4.9} erf(x)≈1−π2exp(−x2)[2x1−4x31+8x53−16x715+32x9105](4.9)
其误差近似小于 10−4(x−1)10^{-4\left(x-1\right)}10−4(x−1) ，我们可以通过 mathematica 画图证明这一近似误差估计式，其拟合效果非常好

Plot[{Log10[Abs[Erf[x] - (1 - 2/Sqrt[Pi]Exp[-x^2] (1/(2 x) - 1/(4 x^3) + 3/(8 x^5) - 15/(16 x^7) + 105/(32 x^9)))]], -4 x + 4}, {x, 1, 5}]

综合两种展开

也就是说，当 x⩾log⁡10(1/ε)4+1x\geqslant \frac{\log_{10}\left(1/\varepsilon\right)}{4}+1x⩾4log10(1/ε)+1 时使用无穷渐近展开，反之使用原点渐近展开。

结语

本节采用泰勒展开的方式推导了 erf 函数的展开式，这一展开式在 xxx 较小和较大时计算速度都较快，但 2<x<3.52<x<3.52<x<3.5 时需要迭代次数较多，最坏情况要迭代接近 50 次。更好的计算方法应当为全局拟合，采取预计算常数硬编码的方式，但这不在本文讨论范围内，感兴趣的读者可以参考这篇文章https://www.zhihu.com/answer/1686069171。