高等数值计算方法学习笔记第6章【解线性代数方程组的迭代方法（高维稀疏矩阵）】

一、引言
- 1.例题（说明迭代法的收敛性研究的重要性）
- 2.定义（迭代法，迭代法收敛）&解误差
二、基本迭代法
- 1.雅可比迭代法
- 2.高斯—塞德尔迭代法（ Gauss-Seidel迭代法）
- 3.例题以及需要注意的问题
- 4.逐次超松驰(Successive Over-Relaxation )迭代法&残差
- 5.例题（松弛因子的选择）
三、迭代法的收敛性
- 1.一阶线性定常迭代法的基本定理（2定义，5定理，3例题）
- 2.某些特殊方程组的迭代收敛性（1定义，3定理）
四、知识结构图
五、作业以及代码（附MATLAB安装方法）

本章将介绍迭代法的一般理论及雅可比迭代法、高斯—塞德尔迭代法、超松弛迭代法，研究它们的收敛性。

一、引言

即Ax=b 其中A为非奇异矩阵，当A为低维稠密矩阵时，线性方程组用直接法(如高斯消去法和三角分解法)是有效的，但对于由工程技术中产生的大型稀疏矩阵方程组（A的维数n很大，但零元素较多），利用迭代法求解是适合的。在计算机内存和运算两方面，迭代通常都可利用A中有大量零元素的特点。

1.例题（说明迭代法的收敛性研究的重要性）

2.定义（迭代法，迭代法收敛）&解误差

此处的解误差（Solution error）是有x的，但是一般情况下高维矩阵的准确解x是很难有的，注意区分后面的残差（residual error）

二、基本迭代法

推导就是将A=M-N带入就行，M为对角矩阵。

1.雅可比迭代法

2.高斯—塞德尔迭代法（ Gauss-Seidel迭代法）

3.例题以及需要注意的问题

迭代了7次就结束了说明性能好!Jacobi需要迭代10次

4.逐次超松驰(Successive Over-Relaxation )迭代法&残差

逐次超松弛迭代（Successive Over-Relaxation, SOR）, 简称SOR方法是G-S迭代法的一种加速方法，是解大型稀疏矩阵方程组的有效方法之一，它有着较为广泛的应用。

5.例题（松弛因子的选择）

三、迭代法的收敛性

1.一阶线性定常迭代法的基本定理（2定义，5定理，3例题）

其中对k用了洛必达法则

谱半径是绝对值最大的特征值的绝对值。

推论如下：

解误差：||x^*-x^(k)||
解间差：||x^k-x^(k-1)||
残差：||Ax^k-b||

||B||<1可以推出收敛，但是收敛时||B||<1不一定成立

2.某些特殊方程组的迭代收敛性（1定义，3定理）

四、知识结构图

五、作业以及代码（附MATLAB安装方法）

函数SOR_iteration;

%超松弛（SOR）迭代法，计算线性方程组的解
function [x,k] = SOR_iteration(A,b,x0,w,tol)
% tol为输入误差容限，x0为迭代初始值% 默认最多迭代300次，超出300次会给出警示
max = 300;if(w<=0||w>=2)% MATLAB中error语句用于报错跳出，并可以给出相应提示error('错啦！w的值不符合要求');return;
end%  取出X矩阵的对角元，然后构建一个以X对角元为对角的对角矩阵
D = diag(diag(A));% 求A的下三角矩阵,对角线元素为0，再每个矩阵元素取负号
L = -tril(A,-1);% 求A的上三角矩阵，对角线元素为0，再每个矩阵元素取负号
U = -triu(A,1);% 在MATLAB中inv是求矩阵的逆矩阵的意思，同\具有一样的功能
B = inv(D-L*w)*((1-w)*D+w*U);
f = w*inv((D-L*w))*b;
x = B*x0+f;
k = 1;%迭代次数
xx = [0.5,1,-0.5]';
% norm表示无穷范数
while norm(xx-x)>=tolx = B*x+f;k = k+1;if(k>=max)disp('迭代次数超过',max1,'次，方程组可能不收敛');return;endif(norm(xx-x)<tol)[k,x']end
end

在命令行中输入如下命令：

A = [4,-1,0;-1,4,-1;0,-1,4];
% 注意必须加'表示转置
b = [1,4,-3]';
x0 = [0,0,0]';
[x,k] = SOR_iteration(A,b,x0,1.03,5*1e-6)A = [4,-1,0;-1,4,-1;0,-1,4];
% 注意必须加'表示转置
b = [1,4,-3]';
x0 = [0,0,0]';
[x,k] = SOR_iteration(A,b,x0,1,5*1e-6)A = [4,-1,0;-1,4,-1;0,-1,4];
% 注意必须加'表示转置
b = [1,4,-3]';
x0 = [0,0,0]';
[x,k] = SOR_iteration(A,b,x0,1.1,5*1e-6)

MATLAB的安装方法点击链接：MATLAB的安装方法

高等数值计算方法学习笔记第6章【解线性代数方程组的迭代方法（高维稀疏矩阵）】相关推荐

高等数值计算方法学习笔记第4章第一部分【数值积分（数值微分）】
高等数值计算方法学习笔记第4章第一部分[数值积分(数值微分)] 一.数值积分概论 1.数值求积的基本思想(牛-莱公式找不到原函数,用矩形近似) 2.代数精度的概念 1.上述四个公式的代数精度(梯形,左 ...
高等数值计算方法学习笔记第4章第二部分【数值积分（数值微分）】
高等数值计算方法学习笔记第4章第二部分[数值积分(数值微分)] 四.龙贝格求积公式(第三次课) 1.梯形法的递推化 (变步长求积法) 2.龙贝格算法五.高斯求积公式 1.一般理论(1定义1例题) 2 ...
Kotlin学习笔记第四章解构声明集合集合的扩展方法 Range 异常 Throw关键字
参考链接 Kotlin官方文档 https://kotlinlang.org/docs/home.html 中文网站 https://www.kotlincn.net/docs/reference/p ...
《计算方法》笔记之（二）线性代数方程组之Gauss消去法
目录 Gauss 消去法消去法的基本思想消去法的消去过程列主元 Gauss 消去法本章的重点在于求解下列线性方程组: {α11x1+α12x2+⋯+α1nxn=β1α21x1+α22x2+⋯+ ...
《C Primer Plus》学习笔记—第9章
目录 <C Primer Plus>学习笔记第9章函数 1.复习函数 1.引入 2.创建并使用简单的函数:程序lethead1.c 3.分析程序 4.函数参数 1.程序lethead2 ...
《Go语言圣经》学习笔记第六章方法
<Go语言圣经>学习笔记第六章方法目录方法声明基于指针对象的方法通过嵌入结构体来扩展类型方法值和方法表达式示例:Bit数组封装注:学习<Go语言圣经>笔记, ...
《Go语言圣经》学习笔记第三章基础数据类型
<Go语言圣经>学习笔记第三章基础数据类型目录整型浮点数复数布尔型字符串常量注:学习<Go语言圣经>笔记,PDF点击下载,建议看书. Go语言小白学习笔记, ...
《疯狂Java讲义》学习笔记第六章面向对象（下）
<疯狂Java讲义>学习笔记第六章面向对象(下) 6.1包装类基本数据类型包装类 byte Byte short Short int Integer long Long char ...
《Python编程：从入门到实战》(第2版)学习笔记第5章 if语句
[写在前面]为进一步提高自己的python代码能力,打算把几本经典书籍重新过一遍,形成系统的知识体系,同时适当记录一些学习笔记,我尽量及时更新!先从经典的<Python编程:从入门到实战> ...

高等数值计算方法学习笔记第6章【解线性代数方程组的迭代方法（高维稀疏矩阵）】

高等数值计算方法学习笔记第6章【解线性代数方程组的迭代方法（高维稀疏矩阵）】

一、引言

1.例题（说明迭代法的收敛性研究的重要性）

2.定义（迭代法，迭代法收敛）&解误差

二、基本迭代法

1.雅可比迭代法

2.高斯—塞德尔迭代法（ Gauss-Seidel迭代法）

3.例题以及需要注意的问题

4.逐次超松驰(Successive Over-Relaxation )迭代法&残差

5.例题（松弛因子的选择）

三、迭代法的收敛性

1.一阶线性定常迭代法的基本定理（2定义，5定理，3例题）

2.某些特殊方程组的迭代收敛性（1定义，3定理）

四、知识结构图

五、作业以及代码（附MATLAB安装方法）

高等数值计算方法学习笔记第6章【解线性代数方程组的迭代方法（高维稀疏矩阵）】相关推荐

最新文章

热门文章