一.控制系统分类

从不同的角度有多种分类方法

随动系统（伺服系统）：使输出复现输入，输入不确定（跟踪系统，如雷达）；输入有规律变化（程序控制系统，如数控机床）
自动调整系统（恒值系统）：输入为定值，输出以一定精度保持在希望的数值上（如水箱水位）
线性系统：可以用线性常微分方程（连续系统）或差分方程（离散系统）表示，输入信号及其导数和输出信号及其导数都是一次方，如a₀y⁽ⁿ⁾+a₁y^(n-1)+……+a_ny=b₀x^(m)+b₁x^(m-1)+……+b_mx；线性系统还分为线性定常系统和线性时变系统。
线性定常系统满足齐次性和叠加性，即f(k×t)=k×f(t)f(k×t)=k×f(t)f(k×t)=k×f(t)
f(t1+t2)=f(t1+t2)f(t_1+t_2)=f(t_1+t_2)f(t1+t2)=f(t1+t2)
线性时变系统则a₀…a_n、b₀…b_n是时间的函数
非线性系统：用非线性常微分方程表示
连续系统（微分方程）：模拟量
离散系统（差分方程）：数字量、脉冲量
单输入单输出系统、多输入多输出系统
确定系统、不确定系统（结构、参数、输入信号）

二.控制系统的数学模型

数学模型：描述系统运动规律的数学表达式

1.数学模型描述方法：

微分方程：标准形式是输出量在等号左边，输入量在等号右边，导数降阶排列
传递函数：线性定常系统在初始条件为0的情况下，输出信号的拉氏变换与输入拉氏变换的比值Y(s)X(s)\frac {Y(s)} {X(s)}X(s)Y(s)
传递函数的特点：
（1）只有线性系统才有此概念，一般是线性定常系统
（2）传递函数是系统本身的性质，与输入输出无关，但可由输入输出描述
（3）零初始条件因为线性系统与初始条件无关，可以假设初始条件是0
微分方程推广到高阶系统：

a0dny(t)dtn+a1dn−1y(t)dtn−1+……+any(t)=b0dmx(t)dtm+b1dm−1x(t)dtm−1+……+bmx(t)a_0\frac {d^ny(t)}{dt^n}+a_1 \frac {d^{n-1}y(t)}{dt^{n-1}}+……+a_ny(t)=b_0\frac{d^mx(t)}{dt^m}+b_1\frac {d^{m-1}x(t)}{dt^{m-1}}+……+b_mx(t)a0dtndny(t)+a1dtn−1dn−1y(t)+……+any(t)=b0dtmdmx(t)+b1dtm−1dm−1x(t)+……+bmx(t)

传递函数：
G(s)=Y(s)X(s)=b0sm+b1sm−1+……+bma0sn+a1sn−1+……+an=M(s)N(s)G(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{b_0s^m+b_1s^{m-1}+……+b_m}{a_0s^n+a_1s^{n-1}+……+a_n}=\frac {M(s)}{N(s)}G(s)=X(s)Y(s)=a0sn+a1sn−1+……+anb0sm+b1sm−1+……+bm=N(s)M(s)
G(s)的零点：M(s)=b0sm+b1sm−1+……+bm=0M(s)=b_0s^m+b_1s^{m-1}+……+b_m=0M(s)=b0sm+b1sm−1+……+bm=0
G(s)的极点（微分方程的特征根）：N(s)=a0sn+a1sn−1+……+an=0N(s)=a_0s^n+a_1s^{n-1}+……+a_n=0N(s)=a0sn+a1sn−1+……+an=0
传递函数还可以表示成零极点形式：
其中z_i是零点，p_j是极点
也可以表示成时间常数形式：
脉冲响应函数：给系统输入一个脉冲信号，观察输出的时域响应
状态方程：适用于多输入多输出系统

2.建立微分方程数学模型的步骤：

确定输入信号、输出信号，并根据需要引入一些中间变量
提出合乎实际的简化假设
根据物理或化学定律，列出微分方程
消去中间变量，求出系统的输入-输出微分方程

3.相关知识回忆：

物理概念及公式
阻尼是与振动速度大小成正比，与振动方向相反的力
感抗： X_L=2πfL
容抗：X_C= 1/(2πfC)
电容两端的电压：U_C=IX_C
电感两端的电压：U_L=L×(dI_L/dt）
通过电容的电流(由C=Q / U求导而来)：I_C=C×(dU_C/dt)
拉氏变换：由时域变到频域，s是个复数
L[f(t)]=∫0∞f(t)e−stdt=F(s),t<0,f(t)=0L[f(t)]= \int_0^\infty f(t)e^{-st}dt=F(s)\, ,t<0,f(t)=0 L[f(t)]=∫0∞f(t)e−stdt=F(s),t<0,f(t)=0
几个简单函数的拉氏变换：
（1）单位阶跃函数
1(t)={1,t>=00,t<01(t) = \begin{cases} 1, & \text{t>=0} \\ 0, & \text{t<0} \end{cases}1(t)={1,0,t>=0t<0
L[1(t)]=∫0∞e−stdt=1s,s=σ+jω，σ>0L[1(t)]= \int_0^\infty e^{-st}dt=\frac1{s},s=σ+j\omega ，σ>0 L[1(t)]=∫0∞e−stdt=s1,s=σ+jω，σ>0
（2）单位斜坡函数 t×1(t)
L[t×1(t)]=∫0∞te−stdt=1s2,s=σ+jω，σ>0L[t×1(t)]= \int_0^\infty te^{-st}dt=\frac1{s^2},s=σ+j\omega ，σ>0 L[t×1(t)]=∫0∞te−stdt=s21,s=σ+jω，σ>0
（3）指数函数 e^-αt
L[e−αt]=∫0∞e−αte−stdt=1s+α,s=σ+jω，σ>0L[ e^{-αt}]= \int_0^\infty e^{-αt}e^{-st}dt=\frac1{s+α},s=σ+j\omega ，σ>0 L[e−αt]=∫0∞e−αte−stdt=s+α1,s=σ+jω，σ>0
（4）余弦函数 cosωt=ejωt+e−jωt2cos\omega t=\frac{e^{j\omega t}+e^{-j\omega t}}{2}cosωt=2ejωt+e−jωt
由已知ejωt=cosωt+jsinωte^{j\omega t}=cos\omega t+jsin\omega tejωt=cosωt+jsinωt
e−jωt=cosωt−jsinωte^{-j\omega t}=cos\omega t-jsin\omega te−jωt=cosωt−jsinωt
将余弦函数转换成两个指数函数的和
L[cosωt]=∫0∞cosωt×e−stdt=12(∫0∞e(jω−s)tdt+∫0∞e(−jω−s)tdt)=12(−1jω−s−1−jω−s)=ss2+ω2L[cos\omega t]=\int_0^\infty cos\omega t×e^{-st}dt=\frac1{2}(\int_0^\infty e^{(j\omega-s)t}dt+\int_0^\infty e^{(-j\omega-s)t} dt) =\frac1{2}(-\frac1{j\omega -s}-\frac1{-j\omega-s})=\frac s{s^2+\omega^2}L[cosωt]=∫0∞cosωt×e−stdt=21(∫0∞e(jω−s)tdt+∫0∞e(−jω−s)tdt)=21(−jω−s1−−jω−s1)=s2+ω2s
同理正弦函数的拉氏变换：L[sinωt]=ωs2+ω2L[sin\omega t]=\frac \omega{s^2+\omega^2}L[sinωt]=s2+ω2ω
拉氏变换的一些性质
（1）线性性
L[k∗f(t)]=k∗L[f(t)]=k∗F(s)L[k*f(t)]=k*L[f(t)]=k*F(s)L[k∗f(t)]=k∗L[f(t)]=k∗F(s)
（2）叠加性
L[f1(t)±f2(t)]=L[f1(t)]±L[f2(t)]=F1(s)±F2(s)L[f_1(t)\pm f_2(t)]=L[f_1(t)]\pm L[f_2(t)]=F_1(s)\pm F_2(s)L[f1(t)±f2(t)]=L[f1(t)]±L[f2(t)]=F1(s)±F2(s)
（3）微分性质
L[ddtf(t)]=sF(s)−f(0+)L[\frac d{dt}f(t)]=sF(s)-f(0^+)L[dtdf(t)]=sF(s)−f(0+)
L[d2dt2f(t)]=s2F(s)−sf(0+)−f′(0+)L[\frac {d^2}{dt^2}f(t)]=s^2F(s)-sf(0^+)-f^\prime(0^+)L[dt2d2f(t)]=s2F(s)−sf(0+)−f′(0+)
L[dndtnf(t)]=snF(s)−sn−1f(0+)−sn−2f′(0+)−……−sf(n−2)(0)−f(n−1)(0)L[\frac {d^n}{dt^n}f(t)]=s^nF(s)-s^{n-1}f(0^+)-s^{n-2}f^\prime(0^+)-……-sf^{(n-2)}(0)-f^{(n-1)}(0)L[dtndnf(t)]=snF(s)−sn−1f(0+)−sn−2f′(0+)−……−sf(n−2)(0)−f(n−1)(0)
求传递函数是零初始条件，因此后边各项均为0，仅剩第一项
（4）积分性质
L[∫0tf(τ)dτ]=F(s)sL[\int_0^tf(\tau)d\tau]=\frac{F(s)}{s}L[∫0tf(τ)dτ]=sF(s)
L[∫0t……∫0tf(t)(dt)n]=F(s)snL[\int_0^t……\int_0^tf(t)(dt)^n]=\frac{F(s)}{s^n}L[∫0t……∫0tf(t)(dt)n]=snF(s)
（5）时间平移
相当于将f(t)移动了一段距离,其中t≥at\geq at≥a
L[f(t−a)∗1(t−a)]=e−asF(s)L[f(t-a)*1(t-a)]=e^{-as}F(s)L[f(t−a)∗1(t−a)]=e−asF(s)
（6）复位移
L[e∓αtf(t)]=F(s±α)L[e^{\mp \alpha t}f(t)]=F(s\pm \alpha)L[e∓αtf(t)]=F(s±α)
（7）初值定理
lim⁡t→0f(t)=lim⁡s→∞sF(s)\lim_{t \to 0} f(t)=\lim_{s \to \infty}sF(s)t→0limf(t)=s→∞limsF(s)
（8）终值定理
lim⁡s→0sF(s)=lim⁡t→∞f(t)\lim_{s \to 0}sF(s)=\lim_{t \to \infty}f(t)s→0limsF(s)=t→∞limf(t)
使用条件：sF(s)在虚轴（除原点）及其右半平面上没有极点
极点：使F(s)分母为0的s值
例如，L[sinωt]=ωs2+ω2L[sin\omega t]=\frac \omega{s^2+\omega^2}L[sinωt]=s2+ω2ω其极点为s=±jωs=\pm j\omegas=±jω此时s是虚数，在虚轴上有极点，就不能使用终值定理。另外极限lim⁡t→∞sinωt\lim_{t \to \infty}sin\omega tt→∞limsinωt不存在，而lim⁡s→0sF(s)=0\lim_{s \to 0}sF(s)=0s→0limsF(s)=0因此终值定理此时不成立。
（9）实数卷积
F1(s)∗F2(s)=L[∫0tf1(τ)∗f2(t−τ)dτ]=L[∫0tf2(τ)∗f1(t−τ)dτ]=L[f1(t)∗f2(t)]F_1(s)*F_2(s)=L[\int_0^tf_1(\tau)*f_2(t-\tau)d\tau]=L[\int_0^tf_2(\tau)*f_1(t-\tau)d\tau]=L[f_1(t)*f_2(t)]F1(s)∗F2(s)=L[∫0tf1(τ)∗f2(t−τ)dτ]=L[∫0tf2(τ)∗f1(t−τ)dτ]=L[f1(t)∗f2(t)]
两个时间函数卷积的拉氏变换等于拉氏变换的乘积
常用拉氏变换（要求记忆）
（1）脉冲信号
L[δ(t)]=1L[\delta(t)]=1 L[δ(t)]=1
（2）单位阶跃信号
L[1(t)]=1sL[1(t)]=\frac 1{s}L[1(t)]=s1
（3）单位斜坡函数
L[t]=1s2L[t]=\frac 1{s^2}L[t]=s21
（4）L[12t2]=1s3L[\frac 1{2}t^2] =\frac 1{s^3}L[21t2]=s31
L[tnn!]=1sn+1L[\frac {t^n}{n!}] =\frac 1{s^{n+1}}L[n!tn]=sn+11
（5）L[e−αt]=1s+αL[e^{-\alpha t}]=\frac 1{s+\alpha}L[e−αt]=s+α1
L[te−αt]=1(s+α)2L[te^{-\alpha t}]=\frac 1{(s+\alpha)^2}L[te−αt]=(s+α)21
（6）f(t)=e−αtsinωtf(t)=e^{-\alpha t}sin\omega tf(t)=e−αtsinωt
由正弦函数的拉氏变换、复位移性质得
L[e−αtsinωt]=ω(s+α2)+ω2L[e^{-\alpha t}sin\omega t]=\frac \omega{(s+\alpha^2)+\omega^2}L[e−αtsinωt]=(s+α2)+ω2ω
线性系统输入输出传递函数描述举例

弹簧阻尼系统列出微分方程：
md2y(t)dt2+fdy(t)dt+ky(t)=F(t)m\frac {d^2y(t)}{dt^2}+f\frac{dy(t)}{dt}+ky(t)=F(t)mdt2d2y(t)+fdtdy(t)+ky(t)=F(t)
左右两边同时作拉氏变换：
m[s2Y(s)−sy(0)−y′(0)]+f[sY(s)−y(0)]+kY(s)=F(s)m[s^{2}Y(s)-sy(0)-y^{'}(0)]+f[sY(s)-y(0)]+kY(s)=F(s)m[s2Y(s)−sy(0)−y′(0)]+f[sY(s)−y(0)]+kY(s)=F(s)
假设初始条件为0，ms2Y(s)+fsY(s)+kY(s)=F(s)ms^2Y(s)+fsY(s)+kY(s)=F(s)ms2Y(s)+fsY(s)+kY(s)=F(s)
则传递函数为G(s)=Y(s)F(s)=1ms2+fs+kG(s)=\frac {Y(s)}{F(s)}=\frac 1{ms^2+fs+k}G(s)=F(s)Y(s)=ms2+fs+k1

复数阻抗
ZR=R,ZC=1Cs,ZL=LsZ_R=R,Z_C=\frac 1{Cs},Z_L=LsZR=R,ZC=Cs1,ZL=Ls
（1）电阻
u(t)=i(t)Ru(t)=i(t)Ru(t)=i(t)R
U(s)=I(s)RU(s)=I(s)RU(s)=I(s)R
GR(s)=U(s)I(s)=RG_R(s)=\frac {U(s)}{I(s)}=RGR(s)=I(s)U(s)=R
（2）电容
u(t)=1C∫i(t)dtu(t)=\frac 1{C} \int i(t)dtu(t)=C1∫i(t)dt
U(s)=I(s)1CsU(s)=I(s)\frac 1{Cs}U(s)=I(s)Cs1
GC(s)=U(s)I(s)=1CsG_C(s)=\frac {U(s)}{I(s)}=\frac 1{Cs}GC(s)=I(s)U(s)=Cs1
（3）电感
u(t)=Ldi(t)dtu(t)=L\frac {di(t)}{dt}u(t)=Ldtdi(t)
U(s)=I(s)LsU(s)=I(s)LsU(s)=I(s)Ls
GL(s)=U(s)I(s)=LsG_L(s)=\frac{U(s)}{I(s)}=LsGL(s)=I(s)U(s)=Ls
用复阻抗求传递函数就比较容易了，复阻抗的串并联等同于电阻的串并联。

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